关于平面动力系统在平衡点(0,0)处李雅普诺夫渐近稳定性的求证咨询

嗨，我看到你卡在这个渐近稳定性的证明上了，其实你已经走对了关键的第一步——选的Lyapunov函数 $V(x,y)=\frac{1}{4}(x^{4}+y{4})$ 完全没问题，不用非要找一个导数严格负定的Lyapunov函数，我们可以用LaSalle不变集原理来补全最后一步，这是处理半负定导数情况的常用技巧。

先回顾一下你已经得到的结论：

• $V(x,y)$ 是正定函数（在$(0,0)$外恒正，原点处为0）；
• 它的时间导数 $\frac{dV}{dt} = x^3 \dot{x} + y^3 \dot{y} = x^3(y3 - x^3y2) + y^3(-x3) = -x^6y2 \leq 0$，确实是半负定的。

接下来用LaSalle原理分析：
LaSalle原理告诉我们，系统的所有解最终都会收敛到最大不变集，这个集合包含在满足 $\frac{dV}{dt}=0$ 的点集中，也就是满足 $-x^6y2=0$ 的点，即 $x=0$ 或 $y=0$ 的直线。

现在我们需要验证这条直线上除了原点$(0,0)$之外，是否存在其他不变的点集（也就是解一旦进入这个子集就不会离开）：

• 当 $x=0$ 时，代入原系统：$\dot{x}=y^3$，$\dot{y}=0$。如果 $y \neq 0$，那么 $\dot{x}=y^3 \neq 0$，这意味着$x$会随时间变化，解会离开$x=0$这条直线，所以$x=0$上除了原点外没有不变子集；
• 当 $y=0$ 时，代入原系统：$\dot{x}=0$，$\dot{y}=-x^3$。如果 $x \neq 0$，那么 $\dot{y}=-x^3 \neq 0$，这意味着$y$会随时间变化，解会离开$y=0$这条直线，所以$y=0$上除了原点外也没有不变子集。

由此可知，满足条件的最大不变集只有$(0,0)$这一个点。根据LaSalle不变集原理，所有从原点附近出发的解都会收敛到$(0,0)$，因此原系统在$(0,0)$处是Lyapunov渐近稳定的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者monotone operator