关于有理数集ℚ的两个模论相关证明问题求助

各位大佬好，我现在卡在两个模论相关的证明题上了，想请大家帮忙指点一下：

• 第一题：证明 $2\mathbb{Q} = \mathbb{Q}$
• 第二题：证明 $\mathbb{Q}$ 不是有限生成的 $A$-模（这里默认$A$是整数环$\mathbb{Z}$吧？我看这类问题一般都是以$\mathbb{Z}$作为系数环的）

先说第一题，我完全没头绪，不知道从哪里开始证，有没有大佬能给个思路或者完整的证明步骤呀？

然后是第二题，我自己琢磨了个开头，但卡壳走不下去了：

假设 $\mathbb{Q}$ 是有限生成的，比如先假设它是由单个元素 $\frac{a}{b}$ 生成的（当然有限生成可能是多个元素，不过先从单个的情况试试？），那按照有限生成模的定义，任意有理数 $q$ 都应该能写成 $m \cdot \frac{a}{b}$，其中 $m$ 是整数。但写到这里我就不知道怎么往下推导出矛盾了，也不确定这个开头对不对，麻烦大家帮忙完善一下这个证明！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者weird