求解定义在x∈[0,1]上的常微分方程y'=(yy')'-y的技术求助

你好！首先得说你用$p(y)=y'$来降阶的思路完全正确，这是处理这类二阶ODE的经典操作👍。咱们来一步步拆解你得到的那个一阶方程，看看能不能找到突破口：

你得到的方程是：
$$p'(y) = \frac{p-p^2+y}{yp}$$

先把它整理成更规整的形式，两边乘以$yp$：
$$yp \frac{dp}{dy} = p - p^2 + y$$
移项后可以写成：
$$yp \frac{dp}{dy} + p^2 = p + y$$

这时候我们换个角度，把$y$看作关于$p$的函数（反转自变量和因变量），方程两边除以$p$后变形为：
$$y\left(p \frac{dy}{dp} - 1\right) = p(1-p)$$

接下来两边乘以$y$，把左边凑成可替换的导数形式：
$$p y \frac{dy}{dp} - y^2 = p(1-p)$$

令$z = y^2$，那么$\frac{dz}{dp} = 2y \frac{dy}{dp}$，也就是$y \frac{dy}{dp} = \frac{1}{2}\frac{dz}{dp}$，代入上式后就得到了线性非齐次一阶ODE：
$$p \cdot \frac{1}{2}\frac{dz}{dp} - z = p(1-p)$$
两边乘2整理成标准线性形式：
$$\frac{dz}{dp} - \frac{2}{p}z = 2(1-p)$$

接下来用积分因子法求解：

1. 计算积分因子$\mu(p) = \exp\left(\int -\frac{2}{p} dp\right) = \frac{1}{p^2}$
2. 两边乘以积分因子，左边会变成全导数：
   $$\frac{d}{dp}\left(\frac{z}{p^2}\right) = 2\left(\frac{1}{p^2} - \frac{1}{p}\right)$$
3. 对两边积分：
   $$\frac{z}{p^2} = 2\left(-\frac{1}{p} - \ln p\right) + C$$
   这里$C$是积分常数。

把$z = y^2$和$p = y'$代回去，就得到$y$和$y'$的隐式关系：
$$y^2 = C(y')^2 - 2y' - 2(y')^2 \ln|y'|$$

另外，我们也能找到原方程的平凡解：假设$y$是常数，那么$y'=0$，代入原方程得$0 = 0 - y$，所以$y=0$是一个解。

到这里我们已经把二阶ODE降阶并转化为可解的线性方程，得到了隐式通解，虽然没办法直接写成$y(x)$的显式形式，但已经是很大的进展了。如果需要针对$x\in[0,1]$的边界条件，还可以代入这个隐式关系进一步求解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Giraffes4thewin