求解满足{x}=(x-3)/(2⌊x⌋-5)的实数x

嗨，你已经找对了方向！用${x} = x - \lfloor x \rfloor$拆分整数部分和小数部分，正是解决这类取整问题的核心突破口，咱们把这个思路落地：

步骤1：变量替换，拆分x的整数与小数部分 #

设$n = \lfloor x \rfloor$（n是整数），那么$x$可以写成$x = n + f$，其中$f = {x}$是x的小数部分，满足**$0 \leq f < 1$**。这个替换能把原方程的实数问题转化为整数n和区间内小数f的问题，更容易处理。

步骤2：代入原方程，整理求解f #

把$x = n + f$和$f = {x}$代入原方程，得到：
$$f = \frac{(n + f) - 3}{2n - 5}$$

接下来把这个方程当作关于f的一元一次方程整理：

1. 两边同乘分母$2n - 5$（因为n是整数，$2n-5$不可能为0，无需额外排除）：
   $$f(2n - 5) = n + f - 3$$
2. 把含f的项移到左边，常数项移到右边：
   $$2nf - 5f - f = n - 3$$
   $$f(2n - 6) = n - 3$$

现在分两种情况讨论：

情况1：$n - 3 = 0$（即n=3）

此时方程变为$0 = 0$，意味着只要满足小数部分的范围$0 \leq f < 1$即可。对应的x就是$x = 3 + f$，其中$0 \leq f < 1$，也就是**$x \in [3, 4)$**。

验证一下：当x在[3,4)时，$\lfloor x \rfloor=3$，原方程右边为$\frac{x-3}{2*3-5}=x-3$，而${x}=x-\lfloor x \rfloor=x-3$，两边完全相等，符合条件。

情况2：$n - 3 \neq 0$（即n≠3，n为整数）

此时可以两边同时除以$n-3$，得到：
$$2f = 1 \implies f = \frac{1}{2}$$
因为$\frac{1}{2}$满足$0 \leq f < 1$，所以对应的x为$x = n + \frac{1}{2}$，其中n是不等于3的任意整数。

随便验证几个：比如n=1时x=1.5，${x}=0.5$，右边$\frac{1.5-3}{21-5}=\frac{-1.5}{-3}=0.5$，成立；n=-1时x=-0.5，${x}=0.5$，右边$\frac{-0.5-3}{2(-1)-5}=\frac{-3.5}{-7}=0.5$，也成立。

最终所有解总结 #

• 所有形如$x = n + \frac{1}{2}$的实数，其中n是整数且$n \neq 3$；
• 所有属于区间$[3, 4)$的实数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1104319