Hatcher 2.2习题17中胞腔同调与奇异同调同构自然性的交换图疑问

嘿，我来帮你理清楚这个交换图的问题！你困惑的核心是为什么方块(2)（也就是$i_Y \circ f_* = f'_* \circ i_X$）会交换，找不到对应的“路径”验证——其实这个交换性本质是胞腔同调与奇异同调之间同构的自然性，咱们一步步拆解：

首先明确一下图里的核心对象：

• $i_X: H_n(X) \to H_n^c(X)$ 是奇异同调到胞腔同调的自然同构（$H_n^c$表示胞腔同调），$i_Y$同理；
• $f_$是连续映射$f: X \to Y$诱导的奇异同调同态，$f'_$是它诱导的胞腔同调同态。

为什么这个方块必然交换？ #

1. 胞腔同调诱导映射的定义逻辑
   胞腔同调本身是通过奇异同调构建起来的——Hatcher里胞腔同调的定义是利用好对$(X,X^{{n-1})$的奇异同调$H_n(X,X}{n-1})$，再通过长正合序列拼接得到$H_n^c(X)$。而奇异同调和胞腔同调之间的同构$i_X$，是通过五引理在好对的长正合序列上建立的自然同构。

   当我们定义胞腔同调的诱导映射$f'*$时，为了让它和胞腔同调的长正合序列保持交换（也就是和包含映射、商映射的诱导胞腔同态交换），唯一合理的定义就是：
   $$f'* = i_Y \circ f_* \circ i_X^{-1}$$
   把这个式子两边同时右乘$i_X$，就得到了$i_Y \circ f_* = f'_* \circ i_X$——这就是方块(2)的交换性！

2. 用长正合序列的交换性验证
   如果你想从“路径”的角度看，可以把两个空间的好对长正合序列拉出来对比：
   对于好对$(X,A)$和$(Y,B)$（$f(A)\subset B$），奇异同调的长正合序列有交换图：

   H_n(A) → H_n(X) → H_n(X/A)
       ↓f_{A*}   ↓f*     ↓f_{X/A*}
   H_n(B) → H_n(Y) → H_n(Y/B)
   

   而胞腔同调的长正合序列和奇异同调的长正合序列通过$i$构成交换图：

   H_n^c(A) → H_n^c(X) → H_n^c(X/A)
       ↑i_A     ↑i_X       ↑i_{X/A}
   H_n(A) → H_n(X) → H_n(X/A)
       ↓f_{A*}   ↓f*     ↓f_{X/A*}
   H_n(B) → H_n(Y) → H_n(Y/B)
       ↑i_B     ↑i_Y       ↑i_{Y/B}
   H_n^c(B) → H_n^c(Y) → H_n^c(Y/B)
   

   现在，要让胞腔同调的长正合序列之间也有交换性（即$f'*$和胞腔的包含、商映射诱导同态交换），五引理告诉我们这样的$f'$是唯一的，而$i_Y \circ f_ \circ i_X^{-1}$正好满足这个要求——这反过来就证明了方块(2)必须交换。

简单来说，这个交换性不是“找路径绕出来”的，而是同构自然性的固有属性：胞腔同调的诱导映射本来就是为了和奇异同调的诱导映射通过同构$i$交换才定义的，同时五引理保证了这个定义的合理性。

如果还是觉得抽象，拿低维例子试试：比如X是2维圆盘，A是边界圆，Y是另一个圆盘，f是连续映射，看1维同调——奇异同调里$f_$是整数到整数的乘法映射，胞腔同调里$f'_$完全对应这个映射，而同构$i$就是把奇异同调的生成元（边界圆的同伦类）对应到胞腔同调的生成元，自然就交换了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lastans7