关于不具有辛形式的闭近辛流形的近辛形式构造及合理性问询

先铺垫一些基础概念，方便大家理解问题背景：

流形$X$上的非退化2-形式$\omega$被称为近辛形式。一个流形能拥有这种形式的充要条件是它是近复流形。不过这类流形未必存在闭辛形式——比如6维球面$S^{6$，由于$H}2(S^6)=0$，它就不可能是辛流形。

接下来是我核心想问的问题：
假设$X$是一个不具有辛形式的闭近辛流形，我们是否总能找到这样的近辛形式$\omega$：它是$C^{0$远离0的，同时它的外微分$d\omega$可以任意$C}0$接近于0？举个具体的例子来说，我们能不能先固定一个黎曼度量$g$，然后构造出一族近复结构$J_t$，使得对应的近辛形式$\omega_t$满足当$t\rightarrow\infty$时，$d\omega_t$趋近于0？

后来我又琢磨了一下，觉得之前的条件有点问题，补充修正如下：

补充说明：之前提到的“$\omega$远离0”这个约束其实不太合理，更有意义的设定应该是固定一个体积形式$\mu$，要求$\omega^n=\mu$。毕竟单纯要求$\omega$远离0的话，我们完全可以在破坏辛性的同时满足这个条件。现在我有点纠结，担心这个问题是不是足够严谨，怕它表面上看起来没问题，但本质上其实没有实际意义？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yalim O