关于重复应用微分算子$D_c$作用于高斯函数的多项式形式求解

大家好，我最近在研究一个微分算子重复作用在高斯函数上的问题，想请教下有没有思路找到一般形式的解。先把问题背景和我目前的进展整理如下：

我们考虑定义在$x>0$上的微分算子（其中$c$为非零常数）：
$$D_c= \frac{d^2}{dx2} + \frac{c}{x} \frac{d}{dx}$$
给定高斯函数$\phi(x)=\exp(-x^{2/2)$，我需要对任意正整数$k$，刻画重复应用该算子后的结果$D_c}k \phi(x)$。

我目前做的推导 #

首先，我已经用到了高斯函数导数的经典结论：
$$\frac{d^k}{dxk} \phi(x)= (-1)^k \operatorname{He}_k(x) \phi(x)$$
这里$\operatorname{He}_k(x)$是埃尔米特多项式。

接下来我手动计算了前两次应用算子的结果：
第一次应用：
$$
\begin{align}
D_c \phi(x)&= \operatorname{He}_2(x) \phi(x)- \frac{c}{x} \operatorname{He}_1(x) \phi(x)\
&= \left(\operatorname{He}_2(x) - c \right) \phi(x)
\end{align}
$$
第二次应用的结果（我自己推导的，暂时不确定是否完全准确）：
$$
D_c^2 \phi(x)= \left( \operatorname{He}_2(x)^2-c \operatorname{He}_2(x)-4 \operatorname{He}_1^2(x)+2 + c(2-( \operatorname{He}_2(x)-c)) \right) \phi(x)
$$

目前的发现和困惑 #

从这几次的结果能看出，$D_c^k \phi(x)$的形式总是一个$2k$次多项式乘以高斯函数，也就是：
$$D_c^k \phi(x)= \text{Poly}(2k) \phi(x)$$
但我始终没能找到这个多项式的一般表达式。另外我注意到这个算子和贝塞尔算子有些相似，但细节上还是有区别，不知道能不能从这个方向找到突破口？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Boby