等面积参数化椭圆族中仅圆取最小周长的导数零点唯一性证明问询

嘿，我最近在研究一族等面积的参数化椭圆，想请教大家一个问题：

这族椭圆的参数形式是 $(a \cos t, a^{-1} \sin t)$，其中参数范围是 $a\in (0,\infty)$，$t\in(0,2\pi]$，它们的面积都是 $\pi$，保持恒定。我的目标是证明只有当$a=1$时（也就是这时候椭圆退化为圆），周长取得最小值。

我已经把周长转化为了关于$a$的函数：
$$
P(a)=\int _0^{{2\pi}\sqrt{a}2\sin^2 t+a^{-2}\cos2t}:dt
$$
并且通过求导得到了周长函数的导数：
$$
P'(a)=\int _0^{{2\pi}\frac{a\sin}2 t-a^{-3}\cos2t}{\sqrt{a^2\sin2 t+a^{-2}\cos2t}}:dt
$$
现在我遇到了瓶颈：怎么证明这个导数$P'(a)$仅在$a=1$时取值为0呢？希望有大佬能给我讲讲思路或者具体的证明方法，谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DanielKatzner