含幺交换环中Rad(A)=Nil(A)的证明思路问询

我最近在处理这个问题时遇到了困难：设A是一个含幺交换环，满足条件：每个不包含于Nil(A)的理想I中都存在非零幂等元e（即e²=e≠0）。证明此时Rad(A)=Nil(A)，其中Rad(A)是Jacobson根。

我知道$Nil(A)\subset Rad(A)$是已知结论（因为我们在交换代数中研究含幺交换环），但要证明$Rad(A)\subset Nil(A)$我有点无从下手。如果Rad(A)不包含于Nil(A)，那么Rad(A)中存在一个幂等元，而且还存在某个x∈Rad(A)使得对所有自然数n，$x^n≠0$，但我不知道该怎么利用这些元素。我知道Nil(A)是所有素理想的交，Rad(A)是所有满足对任意y∈A，1-xy可逆的元素的集合。能不能给我指个方向？

好的，我们来一步步拆解这个问题，你已经走对了第一步——反证法的思路完全正确！

假设$Rad(A)\not\subset Nil(A)$，那根据题目的核心条件，Rad(A)这个理想本身不包含于Nil(A)，所以里面一定存在一个非零幂等元$e\in Rad(A)$。

接下来就用Jacobson根的关键性质来制造矛盾：

• 对任意$x\in Rad(A)$，$1-xy$对于所有$y\in A$都是可逆的。那我们取$x=e$，$y=1$，得到$1 - e$必须是可逆元。
• 但e是幂等元，计算一下：(1 - e)e = e - e² = e - e = 0。

在含幺环里，可逆元和非零元素相乘是不可能得到0的：如果$1-e$可逆，就存在元素$z\in A$使得$z(1-e)=1$，两边同时乘以e的话，左边是$z\cdot(1-e)e = z\cdot0 = 0$，右边是$1\cdot e = e≠0$，这就出现了矛盾！

所以我们的假设$Rad(A)\not\subset Nil(A)$不成立，结合已知的$Nil(A)\subset Rad(A)$，就可以得出$Rad(A)=Nil(A)$。

另外补充一下：你提到的“存在$x\in Rad(A)$使得$x^n≠0$对所有n”其实是$Rad(A)\not\subset Nil(A)$的等价表述，但在这个问题里我们完全不需要用到这个点——利用幂等元结合Jacobson根的性质就能直接导出矛盾，是不是比想象中简单？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者S O