复平面上复合不等式区域的绘制与交集求解咨询

你已经把第一个不等式的转化做得很到位啦！$|z+4i| < 3$对应的就是复平面上以点$(0,-4)$为圆心、半径3的开圆（因为是小于号，不包含边界），这个部分你理解得完全没问题。

接下来咱们重点拆解第二个不等式$|\arg(z-5-5i)|<\frac{\pi}{3}$：

• 先看$z-5-5i$，这相当于把复平面上的点$z(x,y)$平移到以点$(5,5)$为原点的新坐标系里，对应点就是$(x-5, y-5)$。
• $\arg(w)$表示复数$w$的辐角，题目里给定范围是$(-\pi, \pi]$，那$|\arg(w)|<\frac{\pi}{3}$就意味着$w$的辐角落在$-\frac{\pi}{3}$到$\frac{\pi}{3}$之间。
• 对应回原复平面，这个区域是以点$(5,5)$为顶点、两条射线为边界的开角形区域：
  • 第一条射线：从$(5,5)$出发，倾斜角为$\frac{\pi}{3}$（即60度），对应的直线方程是$y-5 = \tan(\frac{\pi}{3})(x-5)$，化简后就是$y = \sqrt{3}(x-5)+5$
  • 第二条射线：从$(5,5)$出发，倾斜角为$-\frac{\pi}{3}$（即-60度），对应的直线方程是$y-5 = \tan(-\frac{\pi}{3})(x-5)$，化简后就是$y = -\sqrt{3}(x-5)+5$
  • 因为不等式是小于号，所以这个区域是两条射线之间的部分，不包含射线本身。

最后找两个区域的交集，就是同时满足“在开圆内部”和“在开角形区域内部”的部分，你可以先画出那个开圆和两条射线，然后把两者重叠的区域标记出来就完成啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者routeRoute