醉汉随机游走问题的求解咨询

我最近在研究一个醉汉随机游走的问题，具体设定如下：

假设一个人在宽度为5的人行道上行走，每一步他可以向左或向右移动，两种方向的概率相等。不过有两个特殊规则：

• 当他走到第5个位置时，必须回到第4个位置；
• 当他走到第1个位置时，如果选择向右走就会掉下去，游戏结束；如果向左走则继续。

现在有两个核心问题需要解决：

• 这个步行者平均能走多远？
• 步行者移动K步后回到起点（第3个位置）的概率是多少？

我先尝试攻克第二个问题，因为感觉它相对容易着手。首先我构建了对应的转移矩阵$T$：
$$ T = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1/2 & 0 & 1/2 & 0& 0 & 0 \
0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
\end{pmatrix} $$
这里矩阵的行和列索引依次为E、1、2、3、4、5，其中E代表“结束状态”——一旦进入这个状态，随机游走就会终止。

关于移动K步后回到起点的概率，我先发现一个很直观的规律：

• 如果K是奇数，那么回到起点的概率必然为0，这个结论之后可以用来验证我们的结果是否合理。

更一般地，我把“移动K步后回到起点”这个事件记为$H_K$，它的概率可以表示为：
$$ P(H_K) = \begin{pmatrix}
0& 0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} T^k \cdot \begin{pmatrix}
0& 0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} $$
不过我目前还不知道怎么推导这个概率的闭合表达式，而且计算任意k对应的$T^k$也不是件轻松的事。

我用Python绘制了30步后各个位置的概率分布图表（注意：图表里的位置1对应我定义的E状态，位置2对应我之前说的位置1，以此类推），又绘制了100步后的概率分布，看起来非结束状态的概率呈现出指数衰减的趋势，所以我猜测应该有一个简洁的表达式可以推导出来。

至于第一个问题——步行者平均能走多远，我完全不知道该从哪里入手。我想应该是求从起点（位置3）出发，到达结束状态E的期望步数，但我不知道怎么用转移矩阵$T$来表达这个期望。如果有人能分享一下思路，我会非常感激！

提前谢谢大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tanamas