关于数域整数环中两个命题自证合理性的问询

我最近在学习数域整数环的相关内容，对以下两个命题的证明有些疑问，想确认我自己的推理是否正确：

(a) 非零理想仅有有限个因子理想
(b) 任意非零有理整数仅含于有限个理想

我参考的是Tall和David Orme Stewart的《Algebraic number theory and Fermat’s last theorem》（2002年版），书中给出的证明很简洁：

(a) 是素分解的直接推论；(b) 是(a)的特例

但我觉得(b)的推导没那么直观，所以自己尝试补全了证明，同时也重新梳理了(a)的证明思路，想请大家帮忙看看我的推理是否正确：

我的证明思路 #

命题(b)的证明

设$n$是一个非零有理整数，所有满足$I \mid \langle n \rangle$的理想$I$，与商环$R := \mathfrak{O}/\langle n \rangle$中的理想是一一对应的。而商环$R$的阶就是理想$\langle n \rangle$的范数，是有限值。
有限环的理想数量必然是有限的——我可以这样证明这一点：环中任意非空子集$X$生成的理想$\langle X \rangle$是环的理想，而环的幂集$2^{R$是有限集（因为$R$有限），所以所有可能的理想数量不会超过$2}R$的大小，自然是有限的。由此就能推出，包含$n$的理想仅有有限个。

命题(a)的证明

我对书中的结论没有疑问，不过自己也梳理了一遍：
数域整数环中的非零理想$I$有唯一的素理想分解（不计因子顺序），而$I$的所有因子理想都是由这个素分解中的素理想组合乘积得到的。由于素分解中只有有限个素理想因子，它们的组合方式也是有限的，因此$I$的因子理想数量有限。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pastudent