在Mathematica中寻找高维函数的局部与全局极大值

针对你遇到的90维参数、基于矩阵迹求和的黑箱函数优化问题，以下是实用的解决思路：

1. 切换黑箱友好的优化算法 #

Mathematica的NMaximize依赖符号表达式处理，不适合你的场景。改用FindMaximum的无导数黑箱算法，直接传入数值计算函数即可：

(* 假设f[params]是你的数值计算函数，params为90个[0,2π)参数 *)
FindMaximum[{f[params], Thread[0 <= params < 2 Pi]}, 
  Table[params[[i]], {i, 1, 90}], 
  Method -> "NelderMead"
]

如果需要全局搜索能力，优先选DifferentialEvolution或SimulatedAnnealing，这两种算法对高维非凸黑箱函数更高效：

FindMaximum[{f[params], Thread[0 <= params < 2 Pi]}, 
  Table[params[[i]], {i, 1, 90}], 
  Method -> {"DifferentialEvolution", "PopulationSize" -> 200}
]

2. 降维优化减少搜索空间 #

90维直接搜索效率极低，试试分层优化策略：

• 先按参数的物理意义（或随机）分组，固定部分参数优化剩余部分，迭代几轮后逐步放开所有参数；
• 先做敏感性分析，筛选出对函数值影响最大的参数，优先优化这些参数，缩小有效搜索维度。

3. 利用函数结构加速计算 #

基于矩阵迹的函数可以通过结构优化降低计算耗时：

• 缓存重复计算的矩阵子块，避免每次迭代重新生成完整64×64矩阵；
• 利用迹的线性性质拆分求和项，并行计算多个子项，减少单步计算时间。

4. 上界验证的简化方法 #

要验证推测的上界3，无需找到精确全局极值：

• 随机生成大量参数点（如10^5个），计算函数值，观察是否能接近3；
• 从多个随机初始点出发用梯度上升法，看收敛后的函数值是否能突破3；
• 若多次尝试均无法接近3，可推测该上界是紧的（或接近紧）。

5. 并行计算提升效率 #

开启Mathematica并行计算，加速函数评估和优化过程：

LaunchKernels[]
fParallel[params_List] := ParallelEvaluate[f[params]]
FindMaximum[{fParallel[params], Thread[0 <= params < 2 Pi]}, 
  Table[params[[i]], {i, 1, 90}], 
  Method -> "DifferentialEvolution", 
  Parallelization -> True
]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Markus M