关于定积分∫₀¹eˣln(x)dx的求值疑问及Wolfram Alpha结果的原理咨询
嘿，我来帮你拆解这个问题，你已经走对了第一步——用分部积分得到原函数$e^x \ln(x) - \operatorname{Ei}(x)$，困惑点主要在$x \to 0$的极限和Wolfram Alpha的结果上，咱们一步步来理清楚：
首先，Wolfram说“双侧极限不存在”是完全正确的，但这和咱们的积分没关系！因为积分区间是$[0,1]$，我们只需要考虑*$x \to 0^+$的单侧极限*（也就是从正数方向趋近于0），这个极限是存在的，接下来咱们算它：
回忆一下指数积分$\operatorname{Ei}(x)$的级数展开式（对$x>0$成立）：
$$\operatorname{Ei}(x) = \gamma + \ln(x) + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n \cdot n!}$$
这里的$\gamma$是欧拉-Mascheroni常数（约0.5772）。
把这个展开式代入你的原函数：
$$e^x \ln(x) - \operatorname{Ei}(x) = e^x \ln(x) - \gamma - \ln(x) - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n \cdot n!}$$
整理一下：
$$= \ln(x)(e^x - 1) - \gamma - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n \cdot n!}$$
当$x \to 0^+$时：
- $e^x - 1$趋近于$x$，所以$\ln(x)(e^x - 1) \sim x \ln(x)$，而$x \ln(x)$当$x \to 0^+$时的极限是0（你可以用洛必达法则验证：$\frac{\ln(x)}{1/x} \to \frac{1/x}{-1/x^2} \to -x \to 0$）；
- 后面的级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n \cdot n!}$当$x \to 0$时每一项都趋近于0，整个级数的极限也是0；
所以最终$x \to 0^+$时，原函数的极限是$-\gamma$。
接下来算$x=1$处的原函数值：
$$e^1 \ln(1) - \operatorname{Ei}(1) = 0 - \operatorname{Ei}(1) = -\operatorname{Ei}(1)$$
定积分就是上限值减下限值：
$$(-\operatorname{Ei}(1)) - (-\gamma) = \gamma - \operatorname{Ei}(1)$$
这就和Wolfram Alpha给出的结果完全一致啦！
至于你提到的拉普拉斯变换思路，其实也能走通，咱们简单提一下：利用$\ln(x) = -\int_0^\infty \frac{e^{-t x}}{t} dt$（对$x>0$成立），把它代入原积分后交换积分顺序（可以用控制收敛定理证明合法性），最后化简也能得到相同的结果，不过这个方法确实比分部积分+极限分析要绕一些，所以优先用第一种思路就好。
总结一下：你之前的困惑是误把“双侧极限不存在”当成了“单侧极限不存在”，而咱们的积分只需要右侧极限，这个极限是存在的，所以积分收敛，结果就是$\gamma - \operatorname{Ei}(1)$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anik Patel
