探究满足P(x,y)=x²+3xy+y²=n的无序正整数对计数δ(n)的表达式

大家好，我最近在研究二元二次型对应的正整数解计数问题，先给大家梳理下目前的进展和疑问：

设$\mathbb{Z}^+$表示正整数集合，定义二元二次型：
$$P(x,y)=x^2+3xy+y2$$
对于任意正整数$n$，$\delta(n)$表示满足$P(x,y)=n$的无序正整数对$(x,y)\in\mathbb{Z}^{+\times\mathbb{Z}}+$的个数。

已通过程序验证的结果 #

我用计算机程序验证了$n\leqslant4000$的情况，得到以下结论：

• 当$n$取$2299, 3509, 3751, 3971$时，$\delta(n)=3$；
• 当$n$属于集合$E_2$时，$\delta(n)=2$，其中：
  $$E_2={209, 319, 341, 451, 551, 589, 605, 649, 671, 779, 781, 836, 869, 899, 979, 1045, 1111, 1121, 1159, 1189, 1199, 1271, 1276, 1331, 1349, 1364, 1441, 1501, 1529, 1595, 1639, 1661, 1691, 1705, 1711, 1769, 1804, 1805, 1829, 1881, 1891, 1919, 1969, 1991, 2059, 2071, 2101, 2189, 2201, 2204, 2255, 2291, 2321, 2356, 2419, 2420, 2449, 2489, 2501, 2519, 2581, 2596, 2629, 2641, 2651, 2684, 2755, 2759, 2761, 2831, 2869, 2871, 2911, 2929, 2945, 2959, 2981, 3069, 3091, 3116, 3124, 3131, 3161, 3239, 3245, 3344, 3355, 3379, 3401, 3421, 3439, 3476, 3596, 3599, 3629, 3641, 3649, 3781, 3799, 3839, 3895, 3905, 3916, 3949}$$
• 对于$n\leqslant4000$的其余所有值，$\delta(n)$只能是$0$或$1$。

已证明的结论 #

我借助下面这个乘法恒等式：
$$P(x,y)P(z,w)=P(yw-xz,yw+xz+3xw)$$
成功证明了$\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\delta(n)=+\infty$——这意味着随着$n$趋向无穷大，$\delta(n)$可以无限增大，不存在上界。

待解决的疑问 #

不过我觉得我们能挖掘出更本质的结果：有没有办法直接用$n$的算术属性（比如素因子分解、二次剩余特征、所属的二次型等价类等）来给出$\delta(n)$的具体表达式呢？欢迎各位同行一起探讨！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者uvdose