关于具有ℵ₀个子序列极限的有界实序列的极限周期性问题

最近我在研究有界实序列的子序列极限集合和它的极限周期之间的关系，先明确一下相关定义：

• 对于有界实序列 $(x_n)n\subseteq\mathbb{R}$，我们把子序列极限的集合记作：
  $$\mathfrak{S}[(x_n)n]:={x\in\mathbb{R}\ \vert\ \exists(x{n_k}){k}\to x}$$
• 序列的极限周期定义为：
  $$T[(x_n)n]:=\inf{t\in\mathbb{N}:(x{n}-x_{n+t})_{n}\to0}$$

基于这些定义，我有一个核心疑问：

请问是否成立：$\boldsymbol{|\mathfrak{S}[(x_n)_n]|=\aleph_0\Rightarrow T[(x_n)_n]=+\infty?}$

我的思考过程 #

一方面，我已经证明了：如果 $\mathfrak{S}[(x_n)_n]$ 是有限集，那么 $T[(x_n)_n]\geq|\mathfrak{S}[(x_n)_n]|$。从这个结论推广来看，原问题的答案似乎是肯定的。

另一方面，我构造了一个子序列极限基数为连续统的例子，或许能给原问题提供思路：
定义序列 $(x_n)_n$ 如下：
$$(x_n)n:=\left(0,1,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1,\frac{3}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4},0,\dots\right)$$
这个序列是有界的，它的子序列极限集合 $\mathfrak{S}[(x_n)n]=[0,1]$——因为子序列极限集合是闭集，而 $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ 包含在其中且在 $[0,1]$ 中稠密。
同时，序列 $(x{n}-x{n+1})_n=\left(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},...\right)$ 收敛到0，这说明该序列的极限周期 $T[(x_n)_n]=1$，但它的子序列极限基数是 $2^{\aleph_0}$。这个例子似乎暗示原问题的答案可能是否定的？

更新：我已经解决这个问题了，但如果你有不同的证明方法，欢迎分享！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者K. Makabre