连续严格递增函数的积分不等式证明求助

嘿，你已经走对关键一步啦！分部积分的操作完全没问题，咱们只需要再分情况讨论就能把这个不等式推出来，这其实就是经典的Young不等式哦。

先把你推导到的式子重新整理一下：
从你得到的等式代入原不等式后：
$$
af(a) + \int_{0}^{b}f{-1}(y)\mathrm{d}y \geq ab + \int_{0}^{f(a)}f{-1}(y)\mathrm{d}y
$$
我们把所有项移到左边，得到：
$$
a(f(a)-b) + \int_{0}^{b}f{-1}(y)\mathrm{d}y - \int_{0}^{f(a)}f{-1}(y)\mathrm{d}y \geq 0
$$
合并积分项后，更直白的方式是分两种情况讨论$b$和$f(a)$的大小关系：

情况1：$b \leq f(a)$ #

这时候积分区间是从$f(a)$到$b$（上限小于下限），积分等价于负的从$b$到$f(a)$的积分，式子转化为：
$$
a(f(a)-b) - \int_{b}^{f(a)}f{-1}(y)\mathrm{d}y \geq 0
$$
因为$f$是严格递增的，所以它的反函数$f^{-1}$也是严格递增的。同时由$b \leq f(a)$，可得$f^{-1}(b) \leq a$，对于所有$y \in [b, f(a)]$，都有$f^{-1}(y) \leq f^{-1}(f(a)) = a$。

因此积分满足：
$$
\int_{b}^{f(a)}f{-1}(y)\mathrm{d}y \leq \int_{b}^{f(a)}a \mathrm{d}y = a(f(a)-b)
$$
代入上面的式子后：
$$
a(f(a)-b) - \int_{b}^{f(a)}f{-1}(y)\mathrm{d}y \geq a(f(a)-b) - a(f(a)-b) = 0
$$
不等式成立。

情况2：$b > f(a)$ #

此时式子直接整理为：
$$
\int_{f(a)}^{b}f{-1}(y)\mathrm{d}y \geq a(b - f(a))
$$
同样因为$f^{-1}$严格递增，对于所有$y \in [f(a), b]$，都有$f^{-1}(y) \geq f^{-1}(f(a)) = a$，因此积分满足：
$$
\int_{f(a)}^{b}f{-1}(y)\mathrm{d}y \geq \int_{f(a)}^{b}a \mathrm{d}y = a(b - f(a))
$$
不等式也成立。

两种情况都验证了不等式成立，所以原命题得证~ 从几何角度看，这个不等式的意义是：曲线$f(x)$在$[0,a]$下的面积，加上反函数$f^{-1}(y)$在$[0,b]$下的面积，总和不会小于边长为$a$和$b$的矩形面积，非常直观！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user961558