关于ℚ[x]/(x³)的ℚ[x]-子模求解及不可分解性判定的疑问
嘿，这个问题问得挺到位的，咱们一步步来拆解清楚～
首先说子模的部分：你的思路方向对了，但细节上有点偏差，不是随便组合元素就能得到子模的，得结合主理想整环（PID）上循环模的子模结构来分析。
ℚ[x]是个PID，而ℚ[x]/(x³)是循环ℚ[x]-模，生成元就是1+(x³)。对于PID上的循环模$M=R/(f)$（这里$R=\mathbb{Q}[x], f=x3$），它的所有子模都对应$f$的首一因子——换句话说，每个子模都是由某个$g(x)+(x3)$生成的，其中$g(x)$整除$x^3$。
$x^3$的首一因子有四个：1, x, x², x³，对应的子模分别是：
- $(1+(x3))$：就是整个模$\mathbb{Q}[x]/(x3)$，因为1能生成所有元素
- $(x+(x^3))$：包含所有形如$ax + bx^2 + (x^3)$的元素（$a,b\in\mathbb{Q}$）
- $(x²+(x3))$：包含所有形如$cx2 + (x^3)$的元素（$c\in\mathbb{Q}$）
- $(0+(x^3))$：零子模
你提到的那些组合，比如$(1,x)$其实就是整个模（因为有1在里面，乘以任何多项式都能得到模里的所有元素）；$(x²,x)$其实就是$(x+(x^3))$，因为$x$乘以$x$就能得到$x²$，所以$x$已经能生成$x²$了，这俩组合并没有产生新的子模。而且不是所有元素组合都能构成子模——子模必须满足对加法封闭，以及对$\mathbb{Q}[x]$的乘法封闭，随便选元素组合可能不满足这些条件，比如你如果选$(1,x²)$，这里面有1，同样生成整个模，不是真子模。
接下来是不可分解性的问题：首先得明确，模的不可分解是指不能写成两个非零子模的直和（如果连两个都拆不了，那肯定更拆不成三个）。
先看$\mathbb{Q}[x]/(x^3)$的子模结构：它的非零子模是嵌套的，形成一条链：0 ⊂ (x²) ⊂ (x) ⊂ ℚ[x]/(x³)。任意两个非零子模的交都不是零——比如$(x)$和$(x²)$的交就是$(x²)\neq0$，$(x²)$和整个模的交是$(x²)\neq0$。而直和要求两个子模的交必须是零，所以根本找不到两个非零子模$M$和$N$，使得$M⊕N=\mathbb{Q}[x]/(x^3)$，因此它是不可分解的。
再说说你提到的能不能写成$\mathbb{Q}[x]/(x)\bigoplus\mathbb{Q}[x]/(x)\bigoplus\mathbb{Q}[x]/(x)$：答案是不行。首先，这个直和是三个单模（$\mathbb{Q}[x]/(x)$是域，作为$\mathbb{Q}[x]-$模是单的）的直和，属于半单模，半单模的子模都是直和项，但$\mathbb{Q}[x]/(x3)$里的子模$(x²)$就不是直和项（因为它和任何子模的交都不是零），所以这两个模不同构。另外，从循环性来看，$\mathbb{Q}[x]/(x3)$是循环模，而三个单模的直和不是循环模（你找不到一个元素能生成所有三个直和项里的元素），所以它们不可能相等。
总结一下：
- $\mathbb{Q}[x]/(x^3)$的$\mathbb{Q}[x]-$子模只有四个：零子模、$(x²)$、$(x)$、整个模
- 它是不可分解的，既不能拆成两个非零子模的直和，也不能拆成三个$\mathbb{Q}[x]/(x)$的直和
备注：内容来源于stack exchange，提问作者vinicio
