关于实分析中泰勒多项式收敛性的导数有界假设疑问

我完全懂你的直觉——毕竟泰勒多项式就是用函数在某点的各阶导数来“复刻”原函数，直觉上阶数越高，应该越接近原函数才对。但这个问题里的各阶导数一致有界假设确实是必不可少的，咱们来一步步捋清楚原因，再用经典反例打破这个想当然的直觉~

先从泰勒余项说起 #

泰勒多项式$P_n(x)$收敛到$f(x)$的核心，是泰勒余项趋于0。对于带拉格朗日余项的泰勒公式，我们有：
$$f(b) - P_n(b) = \frac{f^{{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}b}{n+1}$$
其中$\xi$是介于0和b之间的某个数。要让$\lim_{n→∞}P_n(b)=f(b)$，就必须让这个余项的绝对值趋于0。

为什么导数有界是必须的？ #

如果没有“各阶导数在$[0,b]$上有界”的假设，$f^{(n)}(\xi)$的增长速度可能会远超阶乘的增长速度，这样哪怕分母是$(n+1)!$，余项也没法趋于0。

最经典的反例就是这个光滑到极致的函数：
$$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x2} & x \neq 0 \ 0 & x = 0 \end{cases}$$
这个函数在$\mathbb{R}$上的任意阶导数都存在，而且所有阶导数在$x=0$处的值都是0，所以它在0点的泰勒多项式$P_n(x)$恒等于0。但当$b>0$时（比如$b=1$），$f(b)=e^{-1}≠0$，显然$\lim_{n→∞}P_n(b)=0≠f(b)$。

为什么会这样？因为这个函数的高阶导数在$[0,b]$上是无界的：当n增大时，$f^{{(n)}(x)$在x接近0的地方会剧烈振荡，其增长速度比$n!$还快，导致余项$\frac{f}{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}b^{n+1}$无法趋于0——哪怕阶乘增长很快，也压不住导数的爆炸式增长。

题目中的假设是怎么起作用的？ #

题目里说，对任意$b>0$，存在一个常数$M$（依赖于b），使得对所有$n∈\mathbb{N}$和$x∈[0,b]$，$|f^{(n)}(x)|≤M$。这时候，余项的绝对值满足：
$$|f(b)-P_n(b)| ≤ \frac{M}{(n+1)!}b^{n+1}$$
我们知道，对于固定的b，$\frac{b^{n+1}}{(n+1)!}$当$n→∞$时是趋于0的（阶乘的增长速度远快于指数增长），所以余项会被压到0，自然就有$\lim_{n→∞}P_n(b)=f(b)$了。

总结你的直觉偏差 #

你的直觉忽略了一种可能性：有些光滑函数的高阶导数会“疯长”，快到阶乘都兜不住。导数有界的假设就是给这种疯长套上了枷锁，保证阶乘的增长能把余项拉到0，让泰勒多项式真正逼近原函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者X4J