复合中点法Richardson外推的精确误差表达式求解求助

各位好，我目前在推导复合中点法应用Richardson外推后的精确误差表达式时遇到了瓶颈，想请教大家的思路。

我已经掌握的信息：

• 复合中点法的误差公式为：
  $$\displaystyle\frac{(b-a)h^2}{6}f{''}(\xi)$$
• 我推导得到的对应Richardson外推公式是：
  $$I_h^R(f)(x)=\displaystyle\frac{I_h(f)(x)-4I_{h/2}(f)(x)+3f(x)}{-3}$$
  这里的$I_h$代表步长为$h$的复合中点法。

我尝试把误差代入外推公式进行推导，最后得到了这样的误差表达式：
$$\displaystyle\frac{(b-a)h^2(f{''}(\xi)-f^{''}(\xi'))}{-18}$$

我本来想应用**中值定理（MVT）**来简化这个式子，但不确定$\xi$和$\xi'$这两个点之间的距离是否小于$h$，这让我没法继续推进。

有没有朋友能给我一些提示或者帮助呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user948998