关于概率不等式P(|X| +|Z| ≥ a) ≤ P(|X| ≥ a/2 ) +P( |Z| ≥ a/2)的证明问询

嘿，这个不等式其实是概率领域里很基础的推导，我给你一步步拆解清楚：

第一步：明确事件的逻辑包含关系 #

先定义三个事件：

• $A = {|X| + |Z| \ge a}$（也就是我们要研究的左边事件）
• $B = {|X| \ge a/2}$
• $C = {|Z| \ge a/2}$

我们需要先证明：只要事件A发生，事件B或事件C至少有一个会发生，也就是 $A \subseteq B \cup C$。

这里用反证法最直观：假设 $|X| < a/2$ 且 $|Z| < a/2$，把两者相加可得：
$$|X| + |Z| < \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$$
这直接和事件A的定义 $|X| + |Z| \ge a$ 矛盾。所以只要A发生，B或C必然至少有一个发生，也就证明了 $A \subseteq B \cup C$。

第二步：利用概率的单调性 #

概率有个基本性质：如果事件 $A$ 是事件 $D$ 的子集（即 $A \subseteq D$），那么 $P(A) \le P(D)$。
这里我们已经知道 $A \subseteq B \cup C$，所以：
$$P(A) \le P(B \cup C)$$

第三步：应用并集界（Boole不等式） #

并集界是概率里的基础不等式，对任意两个事件B和C，都有：
$$P(B \cup C) \le P(B) + P(C)$$
这个不等式的本质是：两个事件至少一个发生的概率，不会超过两个事件各自发生概率的和（不用纠结交集的重复计算，我们只需要上界）。

第四步：整合所有步骤 #

把前面的结论串起来，就得到：
$$P(|X| + |Z| \ge a) = P(A) \le P(B \cup C) \le P(B) + P(C) = P(|X| \ge a/2) + P(|Z| \ge a/2)$$

这样就完整证明了这个不等式，它本质是反证法+概率单调性+并集界的组合应用，在概率不等式推导里算是很基础但常用的技巧～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者carlos