组合数学选球问题的解题方法错误排查求助

问题背景 #

有4个盒子，每个盒子里装有3个红球和2个蓝球。现在要从这四个盒子里选出10个球，要求每个盒子至少选1个红球和1个蓝球，请问总共有多少种不同的选法？

给出的选项是：

• (A) 21816
• (B) 85536
• (C) 12096
• (D) 156816

我的错误解法思路 #

我自己尝试算了一遍，但结果和正确答案对不上，想请大家帮我找找问题：

1. 第一步，我先从每个盒子里选1个红球和1个蓝球——每个盒子里选1红1蓝有3×2=6种方式，四个盒子的话就是6^4种选法；
2. 这时候已经选了8个球，还需要再选2个球凑够10个。此时每个盒子剩下2个红球和1个蓝球，加起来一共12个不同的球，所以我觉得选剩下2个球的方法数是C(12,2)（也就是组合数12选2）；
3. 最后把这两个数相乘，得到6^4 × C(12,2) = 85536，但正确答案是选项A的21816。

我实在搞不懂自己哪里考虑错了，有没有人能帮我分析一下问题出在哪儿？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zelpha_343