scipy.linalg.sqrtm无法得到精确矩阵平方根的问题

问题原因 #

矩阵的平方根不唯一——和实数的平方根有正负两个类似，满足C@C = B的矩阵C可以有多个。scipy.linalg.sqrtm默认返回的是主平方根：当B可对角化时，它会对B的特征值取非负平方根，再通过相似变换得到结果矩阵。

以你的例子来说：

• 矩阵A的特征值是(5+√33)/2 ≈ 5.372和(5-√33)/2 ≈ -0.372，其中一个是负数。
• B=A²的特征值是A特征值的平方，即≈28.86和≈0.138，都是正数。
• sqrtm计算主平方根时，会对B的特征值取正平方根（也就是|A的特征值|），再重构矩阵，得到的C的特征值是≈5.372和≈0.372，和原矩阵A的特征值符号不同，因此C和A不是同一个矩阵，但平方后确实等于B。

解决方法：获取原矩阵A作为平方根 #

如果已知B是某个矩阵A的平方，且需要还原出A，可以通过特征分解的方式构造：

1. 对原矩阵A做特征分解：A = PDP⁻¹，其中D是A的特征值对角矩阵，P是特征向量矩阵。
2. B的特征分解为B = PD²P⁻¹，此时取D'=D（保留原特征值的符号），则C = PD'P⁻¹就是A，也就是B的一个平方根。

示例代码：

import numpy as np
import scipy.linalg as la

A = np.array([[1, 2], 
              [3, 4]])
B = A @ A

# 对A做特征分解
P, D = la.eig(A)
# 构造B的平方根（还原A）
C = P @ np.diag(D) @ la.inv(P)

# 打印结果（因数值计算误差，会接近A）
print(np.round(C, 4))
# 验证C@C等于B
print(np.round(C @ C, 4))

如果不知道原矩阵A，但需要得到某个特定符号特征值的平方根，也可以先对B做特征分解，再根据需求调整特征值的符号，最后重构矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aaditya Rudra