关于两类波兰空间中Borel稠密余稠子集与等价类相交性的问询

我最近在研究波兰空间上的等价关系相关问题，遇到了两个具体的困惑，想请教一下大家：

问题1：Baire空间无周期尾序列集合上的情况 #

先明确背景定义：

记 ${\mathbb{N}^\mathbb{N}}*$ 为Baire空间中没有周期尾的无穷序列构成的集合，它是一个 $G_\delta$ 子集，因此本身也是波兰空间。在这个集合上定义等价关系：两个序列 $a$ 和 $b$ 等价当且仅当它们拥有相同的尾段（初始段长度可以不同），这是一个Borel关系。

我尝试在 ${\mathbb{N}^\mathbb{N}}*$ 中构造一个Borel稠密余稠子集 $A$，但过程中发现，如果要满足稠密余稠的条件，似乎需要对无穷多个下标施加限制，这可能会导致整个等价类都被包含在 $A$ 或者它的补集 $A^c$ 里。所以我的核心疑问是：

是否存在这样的Borel稠密余稠子集 $A \subseteq {\mathbb{N}^\mathbb{N}}*$，使得每个等价类中既有属于 $A$ 的元素，也有属于 $A^c$ 的元素？

问题2：单位区间上的Vitali等价关系类似问题 #

后来我联想到了单位区间上的类似场景，想问问：

是否存在Borel稠密余稠子集 $A \subseteq [0,1]$，使得对于Vitali等价关系的每个等价类，$A$ 和 $A^c$ 都各包含该类中的至少一个点？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Onur Bilge