关于正整数k，(5ᵏ+1)(2ᵏ)能否为完全幂的技术问询

各位数论领域的同行们好，我最近遇到一个有意思的问题，想和大家探讨：对于正整数k，表达式$(5^k+1)(2k)$是否能成为一个完全幂？

我自己先做了一些初步的分析和验证，整理如下：

• 首先我把表达式做了变形：$(5^k+1)(2k)=10^k+2k$，这样更方便后续的模运算分析
• 先排除了完全平方的可能性：
  • 当k为奇数时，这个乘积的末位只能是2或者8，但完全平方数的末位只能是0、1、4、5、6、9，直接矛盾，不可能是完全平方
  • 当k为偶数时，计算它模3的结果，发现等于$2\pmod{3}$，而完全平方数模3只能是0或者1，所以也不可能是完全平方
• 接下来考虑完全立方：
  • 我计算了$(5^k+1)(2k)$模9的结果，发现它可能是0、±1，而完全立方数模9的结果恰好也是0、±1，所以暂时没法排除它成为完全立方的可能，这里需要更深入的分析
• 关于完全5次幂：
  • 完全5次幂的最后两位只能是24、64、68或76，但我检查了$(5^k+1)(2k)$的末两位情况，发现不符合这些取值，所以它不可能是完全5次幂
• 那更高次的奇素数幂呢？比如7次幂、11次幂这类，目前我还没找到明确的模运算或者数论性质来排除这种可能，不确定是否存在对应的k

另外我做了暴力验证：我用程序遍历了$k≤10^4$的所有正整数，结果里面没有一个是完全幂，不过这只能说明小范围内没有解，不能证明所有k都无解

最后还有一个提示点供大家参考：

提示：$k \in \mathbb{Z}^{+}$ 且 $(5^k+1)(2k)=10^k+2k$，所以 $2^{k+1}\mid(5k+1)(2^k)$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thirdy Yabata