基于欧拉公式化简三角函数表达式的通用步骤及特定反三角函数表达式化简咨询

Hey there! Let's walk through the general process for simplifying trigonometric expressions with Euler's formula, then dive into that specific arctangent example you mentioned.

通用化简步骤 #

• 替换三角函数为复指数形式：根据欧拉公式，把所有的 $\sin{\theta}$ 换成 $\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$，把 $\cos{\theta}$ 换成 $\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$。如果遇到其他三角函数（比如 $\tan{\theta}$），先转化为正弦和余弦的比值再替换。
• 展开并代数化简：对替换后的表达式做乘法、因式分解、合并同类项等操作，尽量整理成更简洁的复指数形式（比如利用平方差、完全平方公式这类代数技巧）。
• 转换回三角函数形式：把化简后的复指数表达式重新映射回三角函数，利用欧拉公式的逆变换——比如 $\frac{e^{i\alpha} - e^{-i\alpha}}{2i} = \sin{\alpha}$，$\frac{e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}}{2} = \cos{\alpha}$。

示例：化简 $\sin{x}\cos{x}$ #

Let's apply the steps above to this basic example:
$$\sin{x}\cos{x} = \dfrac{e^{ix}-e{-ix}}{2i} \times \dfrac{e^{ix}+e{-ix}}{2}$$
$$ = \dfrac{(e^{ix}-e{-ix})(e^{ix}+e{-ix})}{4i}$$
$$ = \dfrac{(e^{2ix}-e{-2ix})}{4i}$$
$$ = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(e^{i(2x)}-e{-i(2x)})}{2i}$$
$$ = \dfrac{1}{2} \times \sin(2x)$$

针对 $\tan^{-1}\left(\dfrac{\cos{x}-\sin{x}}{\cos{x}+\sin{x}}\right)$ 的化简思路（$\dfrac{-\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{4}$） #

Now let's tackle this arctangent expression. Here's how you can use Euler's formula and algebraic tricks here:

1. 先把分子分母里的 $\sin{x}$ 和 $\cos{x}$ 用欧拉公式替换：
   $$\cos{x} = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin{x} = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$
   代入分子 $\cos{x} - \sin{x}$ 和分母 $\cos{x} + \sin{x}$ 中。
2. 对分子分母通分整理，提取公因子后，你会发现分子分母的 $2i$ 可以约掉，剩下的部分能整理成关于 $e^{ix}$ 的式子。
3. 把化简后的比值转化为复指数形式（比如 $e^{-i2x}$），再结合 $\tan^{-1}(z)$ 与复数辐角的关系来处理。因为给定了 $x$ 的范围 $\frac{-\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$，所以 $-2x$ 的范围是 $\frac{-\pi}{2} < -2x < \frac{\pi}{2}$，正好落在 $\arctan$ 的主值区间内。
4. 最终你可以把这个反三角函数化简为 $\frac{\pi}{4} - x$（可以自己一步步推导验证哦）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shane Sarosh ℼℼℼ