关于具有全局坐标系的流形到非空紧致流形的满射光滑性判定的疑问

嘿，我来帮你理清这个困惑的核心点～

首先先明确你的问题背景：

• $M$是拥有全局坐标卡（全局图册）的流形，$N$是非空紧致流形
• $f: M \to N$是满射，即$f(M)=N$
• 你在判断$f$的光滑性时，觉得$M$只能用整个全局的坐标域，而$N$没法被单个坐标卡覆盖，因此找不到满足$f(U)\subseteq V$的$M$的坐标卡$U$和$N$的坐标卡$V$，进而疑惑自己的论证哪里出错了。

你的核心误解在于对光滑映射定义里的「局部」要求理解偏差了，具体来说：

• 光滑性的定义是逐点局部验证的，不是要求存在一个覆盖整个$M$的坐标卡$U$，对应$N$里的某个坐标卡$V$。
• 哪怕$M$有全局坐标卡$(M, \varphi)$，它的图册（或者等价图册）也包含所有由这个全局卡诱导出的局部坐标卡：也就是说，$M$的任意开子集$U$，配上坐标映射$\varphi|_U$，都是$M$的合法坐标卡。

那正确的验证思路应该是这样的：
对于$M$中的每一个点$x$：

1. 取$N$中包含$f(x)$的任意一个坐标卡$(V_x, \psi_x)$（因为$N$是流形，这样的坐标卡肯定存在）
2. 令$U_x = f^{-1}(V_x)$，这是$M$中的开集（如果我们先假设$f$是连续的——而光滑映射本身要求先连续，这是前提），而且$x\in U_x$（因为$f(x)\in V_x$）
3. 此时，$(U_x, \varphi|_{U_x})$是$M$的一个局部坐标卡，$(V_x, \psi_x)$是$N$的局部坐标卡，并且$f(U_x)\subseteq V_x$，完全符合光滑性定义的局部要求
4. 接下来只需要验证局部代表$\psi_x \circ f \circ (\varphi|_{U_x})^{-1}$是否是光滑的（从$\varphi(U_x)\subseteq \mathbb{R}^{\dim M}$到$\psi_x(V_x)\subseteq \mathbb{R}^{\dim N}$的光滑映射）

你提到的等价图册思路其实是对的——$((f^{-1}(V_i), \varphi|_{f^{-1}(V_i)}))$确实是$M$的等价图册，而这个思路本质上就是把$M$的全局卡拆成了适配$N$的各个坐标卡的局部卡，刚好对应了光滑性判定需要的逐点局部条件。

总结一下，你原论证的错误点在于：误以为$M$只能使用整个全局的坐标域作为坐标卡，但实际上流形的坐标卡可以是全局卡的任意开子集，光滑性的判定不需要全局适配，只需要逐点找到局部适配的坐标对就行。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Parco Macelli