已知△ABC的边长及cos(A-B)的值，求cos(C)的解题方法问询

问题就和标题说的一样，在下方给出的图形里，我要解决的目标是求出∠C的余弦值。我试过好几种思路来推导，比如用正弦定理、面积公式这些方法，但都没找到可行的方向。我自己的解法会放在下面的回答区里，用的是余弦定理。欢迎大家分享你们的解法呀，尤其是用其他不同方法的！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者冥王 Hades