如何证明存在函数h:A→B满足g◦h=f？

你一开始的思路其实完全正确！想要证明存在这样的函数h，核心就是给集合A里的每个元素，找到B中对应的元素，让复合函数g◦h的结果和f完全一致——你已经在尝试逐个匹配元素了，这正是构造性证明的关键所在。

先把已知条件明确下来，方便后续推导：

• 集合定义：$A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {7, 8, 9, 10}$
• 函数定义：
  • $f : A → C$：$f(1) = 7$，$f(2) = 9$，$f(3) = 7$
  • $g : B → C$：$g(4) = 10$，$g(5) = 7$，$g(6) = 9$

证明步骤：构造函数h并验证 #

要找到$h:A→B$满足$g◦h=f$，我们只需要给每个$a∈A$找到至少一个$b∈B$，使得$g(b)=f(a)$，再将$h(a)$定义为这个$b$即可：

• 当$a=1$时，$f(1)=7$，观察g的定义可知$g(5)=7$，因此令$h(1)=5$；
• 当$a=2$时，$f(2)=9$，对应$g(6)=9$，因此令$h(2)=6$；
• 当$a=3$时，$f(3)=7$，同样对应$g(5)=7$，因此令$h(3)=5$；

接下来验证这个h是否满足$g◦h=f$：
对于每个$a∈A$，计算复合函数的结果：

• $(g◦h)(1) = g(h(1)) = g(5) = 7 = f(1)$
• $(g◦h)(2) = g(h(2)) = g(6) = 9 = f(2)$
• $(g◦h)(3) = g(h(3)) = g(5) = 7 = f(3)$

可以看到，所有元素的复合结果都和f的映射完全一致，因此我们构造的这个h就是满足条件的函数。

补充说明：让你的证明更严谨 #

你之前的思路已经抓住了核心，但可以补充两个关键点让逻辑更完整：

1. 先确认f的值域是g值域的子集：这是存在这样的h的前提——如果某个$f(a)$不在g能输出的结果里，那根本找不到对应的$b∈B$。在这个例子中，f的值域是${7,9}$，g的值域是${7,9,10}$，显然${7,9}⊆{7,9,10}$，所以每个$f(a)$都能找到对应的b；
2. 完整定义h并逐一验证：你提到了$h(1)=5$，但最好把A中所有元素的h映射都明确写出来，再逐个验证复合结果，这样整个证明就没有漏洞了。

这种直接构造+验证的方法是存在性证明的常用手段，只要你能构造出符合要求的对象，并且验证它满足条件，就足够证明存在性了——你的初始思路完全没问题，只是需要把步骤补全而已。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tingo Hugo