全纯函数在临界点附近取实值的θ的个数求证

我现在遇到这么一个问题，想请大家帮忙看看：

设 $f:\Omega\to \mathbb{C}$ 是全纯函数，其中 $\Omega$ 是包含实数 $\alpha$ 的开集，而且 $f$ 在 $\Omega \cap \mathbb{R}$ 上取实值（所以所有阶导数 $f^{(k)}(\alpha)$ 都是实数）。已知 $f'(\alpha)=0$，且 $f''(\alpha)\ne 0$。

对足够小的 $r>0$，满足 ${z\in \mathbb{C}:|z-\alpha|\le r}\subset \Omega$，定义函数 $g=g_{r}:[0,2\pi)\to \mathbb{C}$ 为：
$$g(\theta)=f(\alpha+r\text{e}^{\theta i}).$$

我要证明的是：存在 $r_0>0$，使得对所有 $0<r\le r_0$，恰好存在四个不同的 $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4\in [0,2\pi)$，满足 $g(\theta_i)\in \mathbb{R}$。

我已经做了的尝试，以及卡在了哪里 #

我先对 $f$ 在 $\alpha$ 处做幂级数展开：
$$f(\alpha+r\text{e}^{\theta i})=f(\alpha)+\frac{1}{2}r^2\text{e}{2\theta i}f''(\alpha)+R(r,\theta)$$
其中 $R(r,\theta)=O(r^3)$，而且当 $r\to 0^{+}$ 时，这个大O估计对 $\theta$ 是一致的。我找了个常数 $C>0$，当 $r$ 足够小时，$|R(r,\theta)|\le Cr^{3$。通过几何分析，$\frac{1}{2}r}2\text{e}^{2\theta i}f''(\alpha)+R(r,\theta)$ 的辐角和 $2\theta$（也就是 $\frac{1}{2}r^2\text{e}{2\theta i}f''(\alpha)$ 的辐角）的差不会超过 $\theta^{\ast}$，这里 $\theta^{\ast}=\arcsin(\frac{2Cr}{f''(\alpha)})=O(r)$ 当 $r\to 0^{+}$。

这样我就能把式子写成：
$$f(\alpha+r\text{e}^{\theta i})-f(\alpha)=(\frac{1}{2}r^{2f''(\alpha)+O(r}3))\text{e}^{(2\theta +O(r))i}.$$

对足够小的 $r$，我能推出至少存在四个 $\theta$ 使得 $g(\theta)$ 取实值，大概是 $\theta_1=0$，$\theta_2\approx \frac{\pi}{2}$，$\theta_3=\pi$，$\theta_4\approx \frac{3\pi}{2}$ 这几个点。

但卡壳的地方是，我没法证明当 $r$ 足够小时，恰好只有这四个点满足条件，而不会有更多。

我试过用不同方法估计函数
$$h(z)=\frac{1}{2i}(f(\alpha+r\text{e}^{{zi})-f(\alpha+r\text{e}}{-zi}))$$
在实轴上的零点个数，但得到的上界是16个左右，这显然不够精确（这里可以假设 $f$ 满足 $f(\overline{z})=\overline{f(z)}$）。

我还想过考虑动力系统 $x'(t)=f'(x(t))$ 在临界点 $x=\alpha$ 附近的稳定和不稳定流形，但这条思路走不通，没得到有用的结论。

另外，除了 $\theta=0$ 和 $\theta=\pi$ 这两个肯定取实值的点，我还设 $\xi=u+iv$，计算了 $f(\alpha+\xi)$ 的虚部：
$$\text{Im}f(\alpha+\xi)=f''(\alpha)uv+\frac{1}{6}f^{{(3)}(\alpha)(3u}2v-v^{3)+\frac{1}{6}f}{(4)}(\alpha)(u^3v-uv3)+O(|\xi|^5).$$
把虚部设为0，忽略大O项的话，能得到 $f(z)$ 取实值的曲线在 $\alpha$ 附近的近似表达式：
$$v=\pm \sqrt{\frac{6f''(\alpha)+3f^{{(3)}(\alpha)u}2+f^{{(4)}(\alpha)u}3}{f^{{(3)}(\alpha)+f}{(4)}(\alpha) u}}$$
（这里假设 $f^{(3)}(\alpha)$ 和 $f^{(4)}(\alpha)$ 不同时为0）。

感觉应该有个很简单的证明方法，但我就是没看出来，希望大家能给点帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AfterMath