关于证明p≥1时ℓₚ范数单位球为凸集的技术咨询

你好！你的思路方向完全正确——要证明ℓₚ范数的单位球是凸集，核心就是验证：对任意两个属于单位球的点$x_1, x_2$，以及任意标量$a \in [0,1]$，仿射组合$a x_1 + (1-a)x_2$也落在单位球内，也就是要证$||a x_1 + (1-a)x_2||_p \leq 1$。

不过你刚才用到的不等式存在小问题，不是$||a x_1 + (1-a)x_2||_p \leq |a|^{1/p}||x_1||_p + |1-a|^{1/p}||x_2||_p$，这里应该用Minkowski不等式（ℓₚ范数的三角不等式，仅当$p≥1$时成立，这也是题目限定$p≥1$的关键原因）：

对任意$u, v \in \mathbb{R}^n$，$p≥1$，有$||u + v||_p \leq ||u||_p + ||v||_p$

接下来我们用正确的逻辑一步步推导：

• 首先，因为$x_1, x_2$在单位球中，所以满足$||x_1||_p \leq 1$，$||x_2||_p \leq 1$。
• 对仿射组合$a x_1 + (1-a)x_2$应用Minkowski不等式：
  $$
  ||a x_1 + (1-a)x_2||_p \leq ||a x_1||_p + ||(1-a)x_2||_p
  $$
• 然后利用ℓₚ范数的齐次性：对任意标量$c \in \mathbb{R}$，$||c x||_p = |c| \cdot ||x||_p$（这是你之前出错的核心点，范数齐次性是直接提取标量的绝对值，而非开p次方）。
• 代入齐次性展开（因$a \in [0,1]$，所以$|a|=a$，$|1-a|=1-a$）：
  $$
  ||a x_1||_p + ||(1-a)x_2||_p = a \cdot ||x_1||_p + (1-a) \cdot ||x_2||_p
  $$
• 最后结合$||x_1||_p \leq 1$和$||x_2||_p \leq 1$，可得：
  $$
  a \cdot ||x_1||_p + (1-a) \cdot ||x_2||_p \leq a \cdot 1 + (1-a) \cdot 1 = 1
  $$

把这些步骤串联起来，就能得到$||a x_1 + (1-a)x_2||_p \leq 1$，说明该仿射组合确实属于单位球，也就证明了$p≥1$时ℓₚ范数的单位球是凸集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eliza Romanski