两个复矩阵及其共轭转置同时相似蕴含它们酉相似的证明问题
问题描述
设$A$和$B$是两个$n\times n$复矩阵，满足：
- $A$与$B$相似，即存在可逆矩阵$P\in GL(\mathbb{C},n)$使得$A = PBP^{-1}$；
- $A^* = PB*P{-1}$（其中$M^*$表示矩阵$M$的共轭转置）。
求证：$A$与$B$是酉相似的（即存在酉矩阵$U$，使得$A = UBU^{-1}$）。
证明过程
我们可以利用极分解（基础线性代数中的标准工具）来完成证明，步骤如下：
对$P$做极分解：
任何可逆复矩阵$P$都可以唯一分解为$P = UH$，其中$U$是酉矩阵（满足$U*U=UU=I$），$H$是正定Hermite矩阵（满足$H^=H$，且所有特征值严格大于0）。推导$H$与$B^*$的交换性：
将$P=UH$代入第一个等式$A = PBP^{-1}$，可得：
$$A = UHB(HU)^{-1} = UHBH{-1}U{-1}$$
再计算$A*$（利用共轭转置的反序性质：$(XY)=Y*X$）：
$$A^* = (UHBH{-1}U{-1})^* = U(H{-1})B*HU^{-1}$$
由于$H$是Hermite矩阵，$H*=H$，且$(H{-1})*=(H){-1}=H{-1}$，因此上式简化为：
$$A^ = UH{-1}BHU^{-1}$$
另一方面，直接将$P=UH$代入第二个条件$A^ = PB*P{-1}$，可得：
$$A^* = UHB*(HU){-1} = UHB*H{-1}U^{-1}$$
现在我们有两个$A*$的表达式，两边同时左乘$U{-1}$、右乘$U$，得到：
$$H{-1}BH = HB*H{-1}$$
两边同时左乘$H$、右乘$H$，整理后得到：
$$H2B = B*H2$$
这说明$H2$与$B$可交换。而$H$是$H2$的唯一正定平方根（通过谱分解可证，正定矩阵的平方根可以用其特征值的平方根构造，且是原矩阵的多项式），因此$H$也与$B$可交换，即$HB^* = B^*H$。推导$H$与$B$的交换性：
对$HB^* = B^H$两边取共轭转置，利用共轭转置的反序性：
$$(HB*) = (B*H)* \implies BH = HB$$
即$H$与$B$也可交换。构造酉相似关系：
回到$A = UHBH{-1}U{-1}$，由于$H$与$B$可交换，$HB = BH$，因此：
$$HBH^{-1} = BHH^{-1} = B$$
代入后得到：
$$A = UBU^{-1}$$
而$U$是酉矩阵，这就证明了$A$与$B$是酉相似的。
补充说明
- 如果你想用基础拓扑的思路，可以考虑连续变形的方法：构造$P_t = U H^t$（$t\in[0,1]$），当$t=1$时$P_1=P$，当$t=0$时$P_0=U$是酉矩阵。验证可知，对于任意$t\in[0,1]$，都有$A = P_tBP_t{-1}$和$A* = P_tB*P_t{-1}$成立，因此可以从$P$连续变形到酉矩阵$U$，保持相似关系，这也能得到结论。
- 你提到的实矩阵情况，其实是这个结论的特例：实矩阵的共轭转置就是转置，同样可以用极分解（此时$H$是实正定对称矩阵）推导，思路完全一致。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Neo
