关于切空间与切锥相等的雅可比准则的初等证明问询
各位好，我正在准备一门代数簇入门课程的讲义，想给仿射代数集的非奇异点做一个初等化的讲解。我目前工作在**特征0的无限域$k$**上（不一定代数闭，如果有必要的话也可以加上代数闭的假设，虽然课程初期我不太想用这个条件），现在想要证明一个结论：
若$Z\subset k^n$是仿射代数集，其理想$\mathcal{I}(Z):= \lbrace P \in k\left[x_1,\ldots ,x_n\right]\ |\ \forall x\in Z, P(x)=0\rbrace$由多项式族$(f_1,\ldots,f_m)$生成，且在点$x\in Z$处的雅可比矩阵
$$J_x = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}$$
的秩为$m$（显然这里要求$m\leq n$），那么$x$处的切锥$C_x(Z)$等于扎里斯基切空间$T_xZ$。
先明确一下相关定义：
- 扎里斯基切空间$T_xZ$（几乎是定义性的）是$J_x$的核，即$$T_xZ = \bigcap_{i=1}^m\ker f_i'(x)$$
- 切锥$C_x(Z)$定义为$\mathcal{I}(Z)$中所有多项式在$x$处的初始项的公共零点集：对任意$f\in \mathcal{I}(Z)$，记$f\ast_x$为$f$在$x$处泰勒展开的第一个非零项（这是$kn$上的$r$次对称线性形式），则$$C_x(Z) = \lbrace h\in kn | f\ast_x(h,\ldots,h)=0\rbrace$$
我们已经知道，因为$f'_i(x)$就是$f_i$在$x$处的初始项，所以必然有$C_x(Z)\subset T_xZ$。现在的目标就是利用雅可比矩阵的秩条件，证明反向的包含关系$T_xZ\subset C_x(Z)$。
我知道有现成的证明用到了代数簇的维数概念，但我的课程目前还没讲到维数，所以想找一个不依赖维数的初等证明。
我自己有一个观察：对于任意$f\in\mathcal{I}(Z)$，都可以写成$f=\sum_{i=1}^m a_i f_i$，其中$a_i\in k[x_1,\ldots,x_n]$是多项式。由于线性形式$(f_1'(x),\ldots,f_m'(x))$是线性无关的，所以$f$在$x$处的线性项为0当且仅当所有$a_i(x)=0$。我想知道能不能利用这个性质，推导出：当$h\in\ker J_x$时，$f$的初始项$f\ast_x$满足$f\ast_x(h,\ldots,h)=0$？
另外我还有一些思考笔记：
- 是不是通过坐标变换把$x$移到原点会更简单？这样的话，泰勒展开就等价于多项式的齐次分量分解，初始项就是最低次数的非零齐次分量。如果这么处理的话，$\sum_{i=1}^m a_if_i$的初始项是不是更容易分析？而且这种方法说不定在正特征域上也能成立？
- 如果因为$k$不是代数闭域导致我的思路有遗漏，我也可以接受加上代数闭的假设，虽然这不是我课程初期最理想的选择。
希望大家能给我一些思路或者初等的证明方法，谢谢！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matematiflo
