关于圆的平行弦垂直距离与半径关系的几何证明问询

我其实不太喜欢做几何证明题，但架不住我真的很喜欢几何这门学科，感觉自己慢慢也在进步。不过最近有个问题把我难住了，怎么都搞不定。

题目：圆的两条平行弦，分别在圆心处张成72°和144°的角。求证：两条弦之间的垂直距离等于圆半径的一半。

我一开始想的方法是，从第一条弦（默认在第二条弦上方）和圆周的交点，向第二条弦作垂线，然后想把这条垂线的长度和半径建立联系（也就是证明它是半径的一半）。但不管我用什么定理、什么规则，最后都走进死胡同了。

我觉得这个问题应该要用三角函数的和差化积公式来解，因为它出现在三角函数教材的对应章节里——是S.L. Loney那本很棒的平面三角学教材里的题目，那本书能帮人建立三角函数的全局认知，感兴趣的话可以看看。

真心希望能得到各位的帮助！如果能分享你们解这类几何题的思路和思考过程就更好了——我除了《几何原本》里的那些证明，对其他几何证明还完全是新手。另外，要是能教教我这类证明题的通用解法思路，怎么能更高效地找到解题方向，那就太感激了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Camelot823