球内接正方体边长求解的几何性质及作图步骤相关疑问

我最近在研究一种通过几何作图求球内接正方体边长的方法，步骤是这样的：

• 先取一段长度为3d的线段作为基准边
• 以这条线段为直径画一个半径为1.5d的半圆
• 从线段的其中一个端点出发，在距离该端点d的位置作一条垂线，这条垂线与半圆的交点标记为点P

但我现在遇到了困惑：整个过程里完全没提到线段QP的长度，也没有任何相关提示。一开始我猜测这里是不是用到了黄金比例，但仔细想想应该是和半圆相关的某个几何定理在起作用。因为不知道QP的长度，我根本没法算出线段PS的长度，有没有懂几何的朋友能帮我理清这里的逻辑？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jiten