紧Kähler曲面上有限符号测度的互奇异正测度分解问题

嘿，这个问题的答案是肯定的——任意非零的有限符号测度（不管是不是定义在紧Kähler曲面上），都能分解为两个非零、有限且互奇异的正测度之差。这个结论其实是测度论里Hahn分解定理的直接推论，我给你拆解一下：

首先，回忆一下Hahn分解定理的核心内容：对于任意有限符号测度$\nu$，我们能找到一个可测集$A \subset M$，把整个空间分成两部分：

• 在$A$上，$\nu$的表现完全是“正的”，我们定义正变差测度$\nu^+(E) = \nu(E \cap A)$；
• 在$A$的补集$A^{c$上，$\nu$的表现完全是“负的”，定义负变差测度$\nu}-(E) = -\nu(E \cap A^c)$。

这时候$\nu = \nu^+ - \nu^{-$，而且$\nu}+$和$\nu^{-$是互奇异的——因为$\nu}+$完全集中在$A$上，$\nu^{-$完全集中在$A}c$上，而$A$和$A^c$是不交的可测集，刚好满足互奇异测度的定义（存在不交的可测集分别承载两个测度）。

不过这里要补充一个特殊情况：如果$\nu$本身就是正测度（也就是$\nu^- = 0$），或者本身就是负测度（$\nu^+ = 0$），那我们只需要稍微调整一下分解方式：比如$\nu$是正测度时，取$\lambda_1 = \nu$，再选一个和$\nu$互奇异的非零有限正测度$\lambda_2$（比如紧Kähler曲面是可分度量空间，随便选一个单点，定义$\lambda_2$为集中在这个单点的单位测度就行），这样依然满足$\nu = \lambda_1 - \lambda_2$，且$\lambda_1$、$\lambda_2$都是非零有限正测度，还互奇异。

你提到的Fornaess和Sibony在《Harmonic Currents of Finite Energy and Laminations》第980页Lemma 3.1证明里用到的分解，本质上就是这个标准结论的具体应用——他们对plaque空间上的测度$c(\alpha)\nu(\alpha)$做了同样的分解，因为这个测度也是有限符号测度，自然可以套用Hahn分解得到互奇异的正测度之差。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Neil hawking