短正合序列中有限生成模的相关问题及求解困惑

一、第一个问题：B有限生成时，A和C未必有限生成的反例 #

要找反例，我们可以利用非诺特环的性质——非诺特环中存在无限生成的理想，而理想本身就是环的子模。

举个具体的例子：

• 取环 ( R = \mathbb{Q}[x_1, x_2, x_3, \dots] )，也就是有理数域上的无限元多项式环，这个环是非诺特的，因为理想 ( A = (x_1, x_2, x_3, \dots) ) 是无限生成的（你没法用有限个多项式生成所有的 ( x_i )）。
• 考虑短正合序列 ( 0 \to A \to R \to R/A \to 0 )：
  • 这里的 ( B = R ) 是有限生成的 ( R )-模，因为单个元素 ( 1 ) 就能生成整个环；
  • 但子模 ( A ) 是无限生成的，而商模 ( R/A \cong \mathbb{Q} ) 是有限生成的（由 ( 1 + A ) 生成）。

再换一个例子说明商模也可以无限生成：

• 同样取 ( R = \mathbb{Q}[x_1, x_2, x_3, \dots] )，考虑理想 ( A = (x_1) )（有限生成），短正合序列 ( 0 \to A \to R \to R/A \to 0 )：
  • ( B = R ) 有限生成；
  • 商模 ( R/A \cong \mathbb{Q}[x_2, x_3, \dots] )，作为 ( R )-模，它需要无限个生成元 ( x_2, x_3, \dots )，是无限生成的。

这两个例子说明，当环 ( R ) 不是诺特环时，即使 ( B ) 有限生成，( A ) 或 ( C ) 都可能无限生成。

二、第二个问题：当 ( R ) 是PID时，( A ) 和 ( C ) 一定有限生成 #

答案是肯定的，原因和PID的两个关键性质有关：

1. PID是诺特环：PID中的每个理想都是有限生成的，进一步地，诺特环上有限生成模的所有子模都是有限生成的。
   • 因为 ( A ) 是 ( B ) 的子模，而 ( B ) 是有限生成的 ( R )-模，( R ) 是诺特环，所以 ( A ) 必然有限生成。
2. 有限生成模的商模仍是有限生成的：
   • 假设 ( B ) 由 ( b_1, b_2, \dots, b_n ) 生成，那么它们在商模 ( C = B/A ) 中的像 ( \overline{b_1}, \overline{b_2}, \dots, \overline{b_n} ) 就可以生成 ( C )，因此 ( C ) 也是有限生成的。

结合这两点，当 ( R ) 是PID时，只要 ( B ) 有限生成，( A ) 和 ( C ) 就都有限生成。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者number9_displ