关于L^p空间中几乎处处收敛且有界序列的极限函数属于L^p的证明疑问

嘿，你的思路其实完全正确！别担心这个证明太直接——有时候简洁恰恰说明你抓住了问题的核心。

你疑惑的几乎处处（$a.e.$）收敛的作用，其实是整个推导的核心前提：Fatou引理中$\liminf |f_n|^p = |f|^p$这一步，正是因为$f_n \to f$几乎处处成立才成立的。毕竟，在测度为0的集合上，函数值的差异不会影响积分结果，我们可以直接忽略那些不收敛的点，认定$\liminf |f_n|^{p$几乎处处等于$|f|}p$，进而得到$\int \liminf |f_n|^p = \int |f|^p$这个关键等式。

我们可以把你的推导补充得更完整些，让逻辑链更清晰：

• 已知$(f_n)_n \subset L^p$，因此每个$\int |f_n|^p < \infty$；同时序列在$L^p$中有界，即存在常数$M > 0$，对所有$n$都有$|f_n|_p = \left(\int |f_n|^p\right){1/p} \leq M$。
• 由$f_n \to f$几乎处处且$f$可测，可得$|f_n|^p \to |f|^p$几乎处处，结合下极限的性质，有$\liminf |f_n|^p = |f|^p$几乎处处。
• 对非负可测函数序列${|f_n|^p}$应用Fatou引理，得到：
  $$\int |f|^p = \int \liminf |f_n|^p \leq \liminf \int |f_n|^p$$
• 由于$p \geq 1$，幂函数$t \mapsto t^{1/p}$在$t \geq 0$上单调递增，两边同时取$1/p$次幂：
  $$|f|_p = \left(\int |f|^p\right){1/p} \leq \left(\liminf \int |f_n|^p\right){1/p}$$
• 再利用序列的有界性，$\liminf \int |f_n|^p \leq \sup_n \int |f_n|^p \leq M^p$，因此$|f|_p \leq M < \infty$，这就证明了$f \in L^p$。

所以你的证明本质是对的，只是需要把$a.e.$收敛的作用明确出来——它是连接$\liminf |f_n|^p$和$|f|p$的关键桥梁，没有这个条件，Fatou引理的核心等式就无法成立哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hlkwtz