四变量布尔表达式能否化简为不含D的三变量？求实现方法

问题梳理 #

给定布尔表达式：
A.C'.D' + A.B'.C' + B.C.D' + B'.C.D + A'.B'.D'
对应真值表中编号0、2、3、6、8、9、11、12、14的输出为真（编号按4变量A(高位)-B-C-D(低位)的二进制转十进制规则）。要求化简为不含D的三变量表达式，但现有尝试均未成功，需验证可行性并推导方法。

可行性验证 #

1. 真值表分析 #

将真项按(A,B,C)分组，观察不同D取值下的输出：

• A=0,B=0,C=0：D=0时输出1，D=1时输出0 → 依赖D
• A=0,B=0,C=1：D=0/1时均输出1 → 不依赖D
• A=0,B=1,C=0：D=0/1时均输出0 → 不依赖D
• A=0,B=1,C=1：D=0时输出1，D=1时输出0 → 依赖D
• A=1,B=0,C=0：D=0/1时均输出1 → 不依赖D
• A=1,B=0,C=1：D=0时输出0，D=1时输出1 → 依赖D
• A=1,B=1,C=0：D=0时输出1，D=1时输出0 → 依赖D
• A=1,B=1,C=1：D=0时输出1，D=1时输出0 → 依赖D

可见原始表达式的输出直接依赖变量D的取值，存在多个(A,B,C)组合下，D的不同取值会导致输出结果不同，因此无法化简为完全不含D的三变量表达式。

2. 教授选项验证 #

对给出的四个选项逐一验证，均与原始真值表矛盾：

• 选项a: A' + B.C + A.C → 化简为A' + C，当A=1,B=0,C=0时输出0，但原始真值表中编号8、9（对应该组合）输出为1，不符。
• 选项b: A' + B'.C + A.C → 化简为A' + C，与选项a存在相同矛盾。
• 选项c: A' + B.C + A'.C' → 化简为A' + B.C，当A=1,B=0,C=0时输出0，与原始真值表不符。
• 选项d: A'.(B+C).(A'+C') → 化简为A'(B+C)，当A=1,B=0,C=0时输出0，与原始真值表不符。

结论 #

原始布尔表达式的输出依赖变量D，无法化简为不含D的三变量表达式。教授给出的四个选项均不符合原始真值表的逻辑，推测题目可能存在表达式、真值表或选项的信息误差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Waffle_Runian