关于Lee全局Frobenius定理证明中第二可数性步骤的疑问及思路验证

我现在正在重读Lee的书，仔细抠证明里的细节，目标是搞定书中所有正文习题。最近在啃全局Frobenius定理的证明时，对其中第二可数性的推导步骤有点懵，同时也梳理了自己的一套思路，想请大家帮忙验证一下。

定理与证明背景 #

首先明确我们要证的定理：

设$D$是光滑流形$M$上的对合分布，则$D$的所有极大连通积分流形构成$M$的一个叶状结构。

证明的起始环节是这样的：
取对合分布$D \subseteq TM$，设${N_{\alpha}}{\alpha}$是任意一族有公共点的连通积分流形，令$N = \bigcup N{\alpha}$，给$N$赋予由嵌入映射$i_{\alpha}: N_{\alpha} \to N$诱导的最终拓扑——这一步是合理的，因为$N_{\alpha} \cap N_{\beta}$在$N_{\alpha}$和$N_{\beta}$中都是开集。

我们的核心目标是证明$N$是$D$的积分流形，再结合之前已证的结论就能推出定理。

我的疑问点 #

我卡在了第二可数性的证明步骤上：
原文给出的逻辑是：我们可以用可数个$D$的平坦图册覆盖$M$，记为${W_i}$。只需要证明对每个$i$，$N \cap W_i$包含在可数个切片的并中即可——因为单个切片的任意开子集都是第二可数的，这样$N$就能表示为可数个第二可数且在$N$中开的子集的并，从而$N$是第二可数的。

我对这段表述有点困惑：是不是实际上，如果某个切片$S$与$N \cap W_i$相交，那么$S$一定包含在$N$里？

我的思路尝试 #

结合Lee书中的示意图，我整理了自己的推导思路：
从图里的例子得到启发：假设$H$是某个$N_{\beta}$，$S$是一个切片（本身也是$D$的积分流形），那么$S \cup N_{\beta}$就是某一个$N_{\alpha}$。
如果$W_i$中的某个切片$S$与$N$相交，那么它必然与某个$N_{\beta}$相交。而$S \cap N_{\beta}$在$S$中是开集（这是之前已证的结论），且是第二可数的；我还认为$S \cap N_{\beta}$在$N$中也是开集。

假设这个结论成立，那剩下要做的就是证明$N$最多包含可数个这样的切片，这部分我模仿Lee的证明思路整理了一下：

• 取所有$N_{\alpha}$的公共点$p$，$p$属于某个切片$S_p$。
• 考虑集合$\mathscr{C}$：所有由切片构成的有限序列，满足：
  1. 序列的第一个元素是$S_p$；
  2. 序列中相邻的切片交集非空；
  3. 每个切片都属于某个$W_j$。
• 任取一个包含在$W_i \cap N$中的切片$S$，取$q \in S \cap N_{\alpha} \cap W_i \subseteq W_i \cap N$，在$N_{\alpha}$中存在从$p$到$q$的路径。利用紧性论证，存在$\mathscr{C}$中的一条序列连接$S_p$和$S$。
• 这样就建立了从$\mathscr{C}$到$N$中所有切片的满射。而${W_i}_i$是可数的，每个$W_i$中的切片也是可数的，所以每一步选择下一个切片时只有可数种可能，因此$\mathscr{C}$是可数集——这就说明$N$中的切片总数是可数的。

想请教大家：这个思路是否可行？同时希望能澄清我之前对原文那段表述的疑问。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matematleta