关于依概率收敛但不几乎必然收敛反例的集合包含关系疑问及LaTeX大括号显示问题

云上老周

2026-4-23

依概率收敛但不几乎必然收敛反例的集合包含关系疑问及LaTeX大括号显示问题

一、集合包含关系的解释

先回到你的问题背景：我们有独立随机变量序列$X_n$，其分布为
$$
\mathbf P(X_n=\pm(n+1))=\frac{1}{2(n+1)\ln(n+1)},\quad \mathbf P (X_n=0)=1-\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}
$$
要证明部分和$S_n=\sum_{k=1}^nX_k$不满足强大数定律，你已经通过Borel-Cantelli引理得出$P(A_n \text{ i.o.})=1$（其中$A_n={|X_n|\geq n}={|X_n|=n+1}$），现在来拆解$A_n \subset \left{ \frac{|S_n|}{n}\geq \frac{1}{2} \right} \cup \left{ \frac{|S_{n-1}|}{n}\geq \frac{1}{2} \right}$这个包含关系：

我们用反证法来推导：假设存在样本点$\omega$满足$\omega \in A_n$（即$|X_n(\omega)|=n+1$），但$\omega$不在右边的并集里——这意味着同时成立：
$$
\frac{|S_n(\omega)|}{n} < \frac{1}{2} \quad \text{和} \quad \frac{|S_{n-1}(\omega)|}{n} < \frac{1}{2}
$$
根据部分和的定义，$S_n = S_{n-1} + X_n$，结合三角不等式可得：
$$
|X_n| = |S_n - S_{n-1}| \leq |S_n| + |S_{n-1}|
$$
如果上面两个不等式成立，那么$|S_n| < \frac{n}{2}$，$|S_{n-1}| < \frac{n}{2}$，代入上式会得到：
$$
|X_n| < \frac{n}{2} + \frac{n}{2} = n
$$
这和$\omega \in A_n$时$|X_n|=n+1$的条件完全矛盾！因此假设不成立，也就是说只要$\omega \in A_n$，它必然属于右边的并集，这就证明了这个包含关系。