关于卷积逐点估计$|(f\ast g)(x)|\le |f(x)|C(g)$的成立性求证
嘿，这个问题问到点子上了——这个逐点估计一般是不成立的，我给你用具体例子加逻辑分析讲清楚：
首先明确卷积的定义：$(fg)(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)dy$，我们要验证的是：是否存在只依赖$g$的常数$C(g)$（比如$||g||_{L^1}$），让每个点$x$都满足$|(fg)(x)| \leq |f(x)|C(g)$。
反例构造（以$\mathbb{R}^1$为例）
取$f(x) = e^{-|x|}$（这是$\mathbb{R}$上有界且连续的函数），再取$g(x) = \chi_{[-N,N]}(x)$（区间$[-N,N]$的特征函数，$N$是一个足够大的正数），显然$g \in L1(\mathbb{R})$，且$||g||_{L1} = 2N$。
计算$x=N$处的卷积值：
$$
(f*g)(N) = \int_{-N}^N e^{-|N - y|} dy
$$
做变量替换$t = N - y$，积分变为$\int_{0}^{2N} e^{-|t|} dt = 2(1 - e^{-2N})$，当$N$足够大时，这个值近似等于2。
但此时$|f(N)| = e^{-N}$，如果按照题目中的估计式，需要$2 \leq e^{-N} \cdot C(g)$。但不管$C(g)$取什么只依赖$g$的常数（比如取$||g||_{L1}=2N$），当$N$趋向于无穷大时，$e{-N} \cdot 2N$会趋向于0，远小于2，这直接违反了估计式。
背后的逻辑
你提到的Young卷积不等式是全局上界：$||f*g||{L^\infty} \leq ||f||{L^\infty} ||g||_{L^1}$，它控制的是卷积函数的最大取值，但逐点情况完全不同——某个点$x$处的$f(x)$可能很小，但$f$在$x$的“邻域平移”（也就是$x-y$覆盖的区域）里的取值可能很大，和$g$积分后得到的卷积值，完全可以远大于$|f(x)|$乘以任何只依赖$g$的常数。
简单说，卷积是整个$f$和$g$的“相互作用”，不是只看$f$在$x$这一个点的值，所以没法用该点的$f(x)$来约束卷积值。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Idkwhat
