范畴论中natural bijection、Cartesian closure相关概念及currying的技术问询

嘿，这个问题问到点子上了——范畴论里的“自然性”确实容易和函子绑定着理解，咱们一步步拆解清楚，把这些概念串起来：

先澄清：“natural in X and Z”到底指什么？ #

你说得完全没错，自然变换（natural transformation） 本质上确实是定义在两个函子之间的映射。维基里那句“双射在X和Z中natural”是一种简化表述，它的真实含义是：这个双射同时是两组不同函子之间的自然变换。

咱们拿笛卡尔闭范畴（Cartesian Closed Category, CCC）的定义来具体说：

• 当说双射φ: Hom(X×Y, Z) ≅ Hom(X, Z^Y) natural in X时，是固定对象Y和Z，看两个从C的对偶范畴C^op到集合范畴Set的函子：

  • 函子1：C(- × Y, Z)——把对象X映射到hom集Hom(X×Y, Z)，把态射f: X' → X映射到“预复合f×id_Y”的操作（也就是把Hom(X×Y, Z)里的态射都和f×id_Y复合）
  • 函子2：C(-, Z^Y)——把对象X映射到hom集Hom(X, Z^Y)，把态射f: X' → X映射到“预复合f”的操作
    此时φ就是这两个函子之间的自然变换，意思是：不管你怎么替换X、怎么用X之间的态射，φ都能和这些操作兼容，不会出现“换了X就不成立”的情况。

• 当说它natural in Z时，是固定对象X和Y，看两个从C到Set的函子：

  • 函子1：C(X×Y, -)——把对象Z映射到Hom(X×Y, Z)，把态射g: Z → Z'映射到“后复合g”的操作
  • 函子2：C(X, (-)^Y)——把对象Z映射到Hom(X, Z^Y)，把态射g: Z → Z'映射到“后复合g^Y”的操作（这里g^Y是g的指数态射，对应函数空间上“把每个Y→Z的函数后复合g得到Y→Z'的函数”的操作）
    此时φ同样是这两个函子之间的自然变换，核心还是兼容性：替换Z或者用Z之间的态射时，φ的双射关系始终成立。

再讲：通过Cartesian closure理解currying #

Currying（柯里化）其实就是这个自然双射在集合范畴Set里的具体表现，咱们先从熟悉的集合论入手，再推广到一般范畴：

在Set里：

• X×Y是两个集合的笛卡尔积，Z^Y是所有从Y到Z的函数构成的集合（也就是Hom(Y,Z)）
• Hom(X×Y, Z)里的元素是二元函数：f: (x,y) ↦ z，输入一对(x,y)输出z
• Hom(X, Z^Y)里的元素是函数值为函数的函数：g: x ↦ (y ↦ z)，输入x输出一个关于y的函数

笛卡尔闭范畴里的自然双射φ，在Set里就是把二元函数f转换成柯里化后的g；反过来φ⁻¹就是把g反柯里化成f。而“自然性”在这里的体现就是：

• 如果有函数h: X' → X，先把h作用在X上再柯里化，和先柯里化再把h作用到函数空间上，结果完全一致（对应natural in X）
• 如果有函数k: Z → Z'，先把k后复合在f上再柯里化，和先柯里化f再把k的指数态射后复合在g上，结果完全一致（对应natural in Z）

推广到一般的笛卡尔闭范畴时，这个φ就是抽象版的柯里化：把“从X×Y到Z的态射”转换成“从X到Z^{Y的态射”，其中Z}Y是Y和Z的指数对象——它在范畴里扮演了集合论中“函数空间”的角色。笛卡尔闭范畴的核心要求就是：每个对象对(Y,Z)都存在这样的指数对象，并且存在这个对X和Z都自然的双射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yuki