关于直接计算特定序列极限的技术求助

嘿，很高兴看到你第一次在这里提问！别担心，这绝对是个很棒的问题——这类乘积型极限的直接计算确实容易卡壳，我来帮你梳理两种更直接的方法：

• 方法一：对数求和+积分近似

  先把极限里的乘积记为$A_n$：
  $$A_n = \frac{(2n＋1)(2n＋3)\cdots(4n＋1)}{(2n)(2n＋2)\cdots(4n)} = \prod_{k=0}^n \frac{2n + 1 + 2k}{2n + 2k} = \prod_{k=0}^n \left(1 + \frac{1}{2(n+k)}\right)$$

  对两边取自然对数，把乘积转化为求和（这是处理乘积型极限的常用技巧）：
  $$\ln A_n = \sum_{k=0}^n \ln\left(1 + \frac{1}{2(n+k)}\right)$$

  当$n\to\infty$时，我们可以用黎曼和近似求和：令$t = \frac{k}{n}$，则求和范围$k=0$到$n$对应$t\in[0,1]$，$\frac{1}{n}$对应积分微元$dt$。

  因为$n$很大时，$\frac{1}{2(n+k)} = \frac{1}{2n(1+t)}$是小量，利用$\ln(1+x)\approx x + o(x)$（只保留主导项），代入求和式转化为积分：
  $$\ln A_n \approx \sum_{k=0}^n \frac{1}{2n(1+\frac{k}{n})} \approx \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{1+t}$$

  计算这个积分：
  $$\frac{1}{2} \left[\ln(1+t)\right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln2$$

  最后对结果取指数，得到极限：
  $$\lim_{n\to\infty} A_n = e^{\frac{1}{2}\ln2} = \sqrt{2}$$

• 方法二：斯特林公式（阶乘渐近近似）

  斯特林公式是阶乘的经典渐近表达式：$k! \sim \sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k$（当$k\to\infty$时）。我们可以把分子分母的乘积用阶乘表示：

  1. 分母是从$2n$到$4n$的偶数乘积，共$n+1$项，提取公因子2后可转化为阶乘比值：
     $$(2n)(2n+2)\cdots(4n) = 2^{n+1} \cdot n(n+1)\cdots(2n) = 2^{n+1} \cdot \frac{(2n)!}{(n-1)!}$$

  2. 分子是从$2n+1$到$4n+1$的奇数乘积，同样$n+1$项，用奇数双阶乘的比值表示，再转换为阶乘形式：
     $$(2n+1)(2n+3)\cdots(4n+1) = \frac{(4n+1)!!}{(2n-1)!!}$$
     利用奇数双阶乘与阶乘的关系$(2m+1)!! = \frac{(2m+1)!}{2^m m!}$，代入化简得：
     $$\frac{(4n+1)!!}{(2n-1)!!} = \frac{(4n+1)! (n-1)!}{2^{n+1}(2n)! (2n-1)!}$$

  把分子分母代入$A_n$，再用$(2n)! = 2n \cdot (2n-1)!$进一步化简：
  $$A_n = \frac{(4n+1)! (n-1)!^2}{2{2n+4} n^2 (2n-1)!^3}$$

  将斯特林公式代入各阶乘，忽略高阶小量后，$\pi$、$e$以及$n$的多余幂次都会相互抵消，最终得到极限结果：
  $$\lim_{n\to\infty} A_n = \sqrt{2}$$

两种方法里，对数求和+积分近似的思路更直接，不需要记忆复杂的双阶乘转换，推荐优先尝试这个方法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Moustapha_M_I