关于Reed和Simon《Methods of Modern Mathematical Physics, Vol 1: Functional Analysis》中定理1.24证明的两处技术疑问

我来帮你拆解这两个关键疑问，都是对角线论证里容易卡壳的细节，咱们一步步理清楚：

疑问1：为什么$f_{n_k(i)}(j) \to f_\infty(j)$对$j=1,2,\dots,k$成立？ #

这完全是子序列的收敛继承性在起作用。咱们回顾归纳过程：

• 当$k=1$时，$f_{n_1(i)}(1)\to f_\infty(1)$，这是Bolzano-Weierstrass定理直接给出的结果。
• 当$k=2$时，$f_{n_2(i)}$是$f_{n_1(i)}$的子序列。既然$f_{n_1(i)}(1)$收敛到$f_\infty(1)$，那它的任何子序列（包括$f_{n_2(i)}$）在$j=1$处的取值也必然收敛到同一个$f_\infty(1)$——子序列不可能改变原序列的收敛极限。同时我们额外保证了$f_{n_2(i)}(2)\to f_\infty(2)$，所以$j=1,2$都满足收敛条件。
• 以此类推到$k$步：$f_{n_k(i)}$是$f_{n_{k-1}(i)}$的子序列，而$f_{n_{k-1}(i)}$已经保证了$j=1,2,\dots,k-1$处的收敛性。子序列继承了这些收敛性，再加上我们特意构造它在$j=k$处收敛，所以自然$j=1$到$k$都满足$f_{n_k(i)}(j)\to f_\infty(j)$。

简单说：每一步的新子序列都"保留"了之前所有步骤的收敛结果，不会因为取子序列而丢失之前的极限。

疑问2：为什么"水平序列"不行，必须用对角线序列？ #

先明确什么是"水平序列"：作者说的是取每个子序列的第一个元素，也就是${n_1(1), n_2(1), n_3(1), \dots}$对应的函数序列${f_{n_1(1)}(m), f_{n_2(1)}(m), \dots}$。

为什么这个序列可能失效？核心问题是$n_k(1)$可能趋向无穷，导致这个序列无法保证对所有固定的$m$都收敛。举个具体的反例就清楚了：
假设定义$f_n(m) = 1$当且仅当$n=m$，否则$f_n(m)=0$。这个序列是一致有界的（所有值都是0或1，$C=1$）。

• 构造$n_1(i)$时，我们会选一个子序列让$f_{n_1(i)}(1)\to 1$，比如$n_1(i)=1$对所有$i$（或者任何包含无穷多个1的子序列）。
• 构造$n_2(i)$时，它是$n_1(i)$的子序列，同时要让$f_{n_2(i)}(2)\to1$，所以$n_2(i)$会包含无穷多个2。
• 以此类推，$n_k(i)$会包含无穷多个$k$。

如果我们取水平序列${n_k(1)}$，假设每个$n_k(1)$都不等于某个固定的$m$（比如$m=5$），那$f_{n_k(1)}(5)$永远是0；但如果$n_k(1)$偶尔等于5，又会跳成1——这个序列根本不收敛。

而对角线序列$\hat{n}(k)=n_k(k)$就解决了这个问题：对于任意固定的$m$，当$k\geq m$时，$\hat{n}(k), \hat{n}(k+1), \dots$都是$n_m(i)$的子序列（因为$n_k(i)$是$n_m(i)$的子序列当$k\geq m$）。而$n_m(i)$已经保证了$f_{n_m(i)}(m)\to f_\infty(m)$，所以它的子序列${\hat{n}(k)}{k\geq m}$在$m$处的取值自然也收敛到$f\infty(m)$。对每个$m$都能找到这样的"起始点"，所以整个对角线序列对所有$m$都收敛。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CBBAM