如何手动绘制函数$(x^\frac{1}{2} + y^\frac{1}{2})^2 = 5$的图像？

咱们先别着急求导，其实先把方程变形简化，就能轻松找到绘制的思路啦：

第一步：简化方程，明确定义域 #

首先，因为方程里有平方根$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$，所以x≥0，y≥0，图像肯定只在第一象限。

原方程左边是平方，右边是正数5，所以直接开平方（平方根非负，舍去负根），得到：
$$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{5}$$
这样是不是清晰多了？接着把它变形为y关于x的表达式：
$$\sqrt{y} = \sqrt{5} - \sqrt{x}$$
两边平方后：
$$y = (\sqrt{5} - \sqrt{x})^2 = x - 2\sqrt{5x} + 5$$

同时，$\sqrt{y}$必须非负，所以$\sqrt{5} - \sqrt{x} ≥ 0$，也就是$\sqrt{x} ≤ \sqrt{5}$，所以x∈[0,5]，同理y也∈[0,5]，而且方程里x和y互换后完全不变，说明图像关于直线$y=x$对称，这个特性后面画图能省不少事！

第二步：找关键特征点 #

先算几个容易得到的点：

• 当x=0时，$y=(\sqrt{5})^2=5$，得到点$(0,5)$
• 当x=5时，$y=(\sqrt{5}-\sqrt{5})^2=0$，得到点$(5,0)$
• 当x=y时，代入$\sqrt{x}+\sqrt{x}=\sqrt{5}$，得$2\sqrt{x}=\sqrt{5}$，解得$x=\frac{5}{4}=1.25$，所以点$(1.25,1.25)$，这是图像上关于$y=x$对称的核心点。

第三步：分析曲线的单调性和凹凸性 #

对化简后的$y=x - 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{x} +5$求导（其实不用导数也能看趋势，但求导更准确）：

• 一阶导数$y' = 1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$，在x∈(0,5)时，$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}>1$，所以$y'<0$，说明曲线在[0,5]上单调递减，和我们从(0,5)到(5,0)的直观感受一致。
• 二阶导数$y'' = \frac{\sqrt{5}}{2x^{\frac{3}{2}}}$，始终大于0，说明曲线是**凹向上（下凸）**的，也就是整体向上弯曲的形状。

第四步：计算中间点，补充细节 #

为了画得更准确，我们可以算几个中间点：

• x=1时，$y=(\sqrt{5}-1)^{2≈(2.236-1)}2≈1.528$，对应点$(1,1.528)$
• x=2时，$y=(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2≈(2.236-1.414)}2≈0.676$，对应点$(2,0.676)$
• 利用对称性，x=1.528时y=1，x=0.676时y=2，这些点也可以标出来。

第五步：动手绘制 #

1. 画出第一象限的坐标轴，标记x轴0到5，y轴0到5的刻度；
2. 先标记好$(0,5)$、$(5,0)$、$(1.25,1.25)$这几个关键点；
3. 补充刚才计算的中间点；
4. 用平滑的曲线把这些点连起来，注意曲线要保持单调递减、凹向上的形态，同时对称于$y=x$直线。

这样就能手动画出这个函数的图像啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nameisnoname