如何证明两种隐式求导所得导数表达式的等价性？

嘿，你的观察完全正确——这两个导数表达式确实是等价的，核心思路就是利用原方程提供的$x$和$y$的约束关系做代数替换，咱们一步步拆解清楚：

第一步：从原方程提取关键替换关系 #

咱们的原方程是：
$$\frac{x}{y} = x - y$$
先把它做个基础变形，两边乘$y$（注意$y \neq 0$，毕竟原方程里有$x/y$，$y$为0就没意义了）得到：
$$x = xy - y^2$$
从这个式子还能推导出更有用的关系，比如把含$x$的项移到一边：
$$x - xy = -y^2 \implies x(1 - y) = -y^2$$
或者直接解出$x$关于$y$的表达式：
$$x = \frac{y^2}{y - 1}$$
这些关系都是咱们后续替换的关键。

第二步：通过替换把第二个表达式转化为第一个 #

先看两个导数表达式：

• 你的结果：$$\frac{dy}{dx} = \frac{y - y^2}{x - y^2}$$
• 另一种方法的结果：$$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y}{x - 2y}$$

咱们从第二个表达式入手，先给分子分母同时乘以$y$（$y \neq 0$，所以这个操作合法）：
$$\frac{(1 - y) \cdot y}{(x - 2y) \cdot y} = \frac{y - y^2}{xy - 2y^2}$$
现在看分母$xy - 2y^2$，根据原方程变形得到的$x = xy - y^2$，可以把$xy$替换成$x + y^2$（因为$x = xy - y^2 \implies xy = x + y^2$），代入分母：
$$xy - 2y^2 = (x + y^2) - 2y^2 = x - y^2$$
这样一来，整个表达式就变成了$\frac{y - y^2}{x - y^2}$，和你最初得到的结果完全一致！

换个角度验证：代入$x$的表达式 #

咱们也可以用之前解出的$x = \frac{y^2}{y - 1}$代入两个表达式，看结果是否相同：

代入第二个导数表达式 #

分子：$1 - y = -(y - 1)$
分母：$x - 2y = \frac{y^2}{y - 1} - 2y = \frac{y^2 - 2y(y - 1)}{y - 1} = \frac{y^2 - 2y^2 + 2y}{y - 1} = \frac{-y^2 + 2y}{y - 1} = \frac{-y(y - 2)}{y - 1}$
计算整个导数：
$$\frac{-(y - 1)}{\frac{-y(y - 2)}{y - 1}} = \frac{(y - 1)^2}{y(y - 2)}$$

代入第一个导数表达式 #

分子：$y - y^2 = y(1 - y) = -y(y - 1)$
分母：$x - y^2 = \frac{y^2}{y - 1} - y^2 = \frac{y^2 - y^2(y - 1)}{y - 1} = \frac{y^2 - y^3 + y^2}{y - 1} = \frac{2y^2 - y^3}{y - 1} = \frac{-y^2(y - 2)}{y - 1}$
计算整个导数：
$$\frac{-y(y - 1)}{\frac{-y^2(y - 2)}{y - 1}} = \frac{(y - 1)^2}{y(y - 2)}$$
两个结果完全相同，再次验证了它们的等价性。

说白了，这两个导数表达式只是同一结果的不同代数形式，因为它们都来自同一个原方程，而原方程给$x$和$y$施加了约束，所以通过这些约束关系就能把它们互相转化。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HydroPage