关于Banach-Mazur距离证明中||Tₘ⁻¹||=1的疑问

嘿，这一步其实是个很直观的算子标准化操作，我给你一步步拆解开看：

首先回顾我们构造的算子：$T_m = |S_m^{-1}| \cdot S_m$，这里$S_m$是从$X$到$Y$的线性同构，所以$S_m^{{-1}$存在且是有界线性算子（有限维赋范空间上的线性同构都是有界的，逆算子也有界），$|S_m}{-1}|$是一个正的实数（同构的算子范数不可能为0）。

接下来我们求$T_m$的逆算子：
根据逆算子的基本性质，对于任意非零实数$c$和线性同构$A$，都有$(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}$。把$c = |S_m^{-1}|$、$A = S_m$代入，就能得到：
$$T_m^{-1} = \left( |S_m^{-1}| \cdot S_m \right)^{-1} = \frac{1}{|S_m^{-1}|} \cdot S_m^{-1}$$

现在计算这个逆算子的范数：
利用算子范数的齐次性——对于任意实数$c$和有界线性算子$B$，$|cB| = |c| \cdot |B|$。这里$c = \frac{1}{|S_m^{-1}|}$，$B = S_m^{-1}$，代入后：
$$|T_m^{-1}| = \left| \frac{1}{|S_m^{-1}|} \cdot S_m^{-1} \right| = \frac{1}{|S_m^{-1}|} \cdot |S_m^{-1}| = 1$$

是不是一下子就清晰了？另外补充一句，构造这样的$T_m$是为了简化后续的分析：原来的$|S_m| |S_m^{-1}|$等于$|T_m| \cdot |T_m^{-1}| = |T_m|$（因为现在逆算子范数是1），这样我们就可以把注意力集中在$|T_m|$的序列上，再利用有限维空间上有界算子序列的紧性，找到收敛的子列，从而证明Banach-Mazur距离的下确界其实是可以取到的最小值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lebong66