圆上随机三点构成含圆心三角形的概率论证形式化及零概率事件条件化疑问

嗨，我来帮你把这个论证给捋顺，顺便解决你关于零概率事件条件化的困惑～

首先，咱先利用圆的旋转对称性简化问题——因为圆是旋转对称的，固定任意一个点的位置都不会改变最终的概率。我们把单位圆的周长归一化到1，固定第一个点A在位置0，剩下两个点B、C对应的位置用独立同分布的均匀随机变量$U, V$表示，它们都服从Uniform(0,1)分布。

接下来，我们把直觉里的论证一步步形式化：

1. 定义核心事件与条件集合 #

设事件$E$为“三角形ABC包含圆心”。对于任意给定的B点位置$u$（也就是$U=u$），我们定义$E_u$为所有满足“当B在$u$时，C点位置$v$能让三角形包含圆心”的集合，也就是$E_u = {v \in [0,1) | (u, v) \in E}$。

2. 确定$E_u$的长度（条件概率值） #

我们需要分两种情况讨论：

• 当$u \in [0, 1/2)$时：此时从A到B的顺时针弧长$u$小于半周长。要让三角形包含圆心，C点必须落在与AB弧相对的、长度为$u$的特定弧段里（简单说就是不能和A、B落在同一个半圆内），这个弧段的长度是$u$，所以此时“C落在$E_u$里”的概率就是$u$。
• 当$u \in [1/2, 1)$时：此时从A到B的顺时针弧长$u$大于半周长，对应的较短弧长是$1-u$。同理，C点必须落在长度为$1-u$的特定弧段里，所以这个概率就是$1-u$。

3. 计算总概率（利用富比尼定理） #

因为$U$是连续型随机变量，我们可以通过积分来计算事件$E$的总概率：
$$
P(E) = \int_{0}^{1} \text{Length}(E_u) \cdot f_U(u) du
$$
这里$f_U(u)=1$是$U$的密度函数（均匀分布的密度是1），代入两种情况的$\text{Length}(E_u)$：
$$
P(E) = \int_{0}^{1/2} u du + \int_{1/2}^{1} (1-u) du
$$
计算一下积分：

• 第一个积分结果是$\frac{1}{8}$，第二个积分结果也是$\frac{1}{8}$，加起来总概率就是$\frac{1}{4}$，这和直觉论证的结果一致。

4. 解决你关于零概率事件条件化的疑问 #

你困惑的“条件概率里事件$U=u$概率为0”的问题，其实是连续型随机变量里的常见误区：
我们这里说的“$P(E | U=u)$”并不是传统意义上的条件概率（传统公式$P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}$在$P(B)=0$时失效），而是正则条件概率。

直观来说，你可以把$u$想象成一个极小的区间$[u, u+\Delta u)$，而不是单点$u$。此时用传统条件概率公式计算：
$$
P(E | U \in [u, u+\Delta u]) = \frac{P(E \cap U \in [u, u+\Delta u])}{P(U \in [u, u+\Delta u])} \approx \frac{\text{Length}(E_u) \cdot \Delta u}{\Delta u} = \text{Length}(E_u)
$$
当$\Delta u$趋近于0时，这个近似值就趋近于我们所说的“$P(E | U=u)$”。本质上，我们是在对每个$u$，计算“当$U$取值接近$u$时，事件$E$发生的概率”，然后通过积分把这些局部概率加权求和，得到总概率。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam