满足棋盘填数和对称性条件的自然数n的取值问题

咱们来一步步拆解这个有意思的棋盘填数问题：

问题明确 #

给定一个n×n的黑白交替棋盘（和国际象棋棋盘的格子颜色分布一致），我们需要给每个格子填入数字{1,2,...,n}，同时满足两个核心要求：

• 每一行都是1到n的完整排列，并且该行内黑色格子的数字总和等于白色格子的数字总和；
• 每一列也都是1到n的完整排列，同时该列内黑色格子的数字总和也等于白色格子的数字总和。

先推导必要条件 #

首先看单一行的情况：一行所有数字的总和是1+2+...+n = n(n+1)/2。题目要求黑格和与白格和相等，那这个总和必须能被2整除——毕竟两个相等的数加起来是总和，总和肯定是偶数。

把这个条件整理一下，就是：
n(n+1)/2 是偶数 → n(n+1) ≡ 0 mod 4

因为n和n+1是连续的自然数，它们俩互质，所以只有两种情况能满足乘积被4整除：

• n是4的倍数（即n ≡ 0 mod 4），此时n本身能被4整除，乘积自然是4的倍数；
• n+1是4的倍数（即n ≡ 3 mod 4），此时n+1能被4整除，乘积也符合要求。

这是满足问题的必要条件——如果n不满足这个，那肯定不存在符合要求的填法。

再看条件的充分性 #

其实当n满足n ≡ 0 mod 4或n ≡ 3 mod 4时，我们是可以构造出符合要求的填法的：

• 当n是4的倍数时，我们可以先把1到n分成两组和相等的子集，对应放到每行的黑格和白格里，再通过调整形成行列都是完整排列的拉丁方；
• 当n除以4余3时，n+1是4的倍数，同样总和是偶数，结合拉丁方的构造技巧，配合棋盘的黑白分布，就能分配数字满足行列的双重要求。

反过来，如果n是1 mod 4或2 mod 4，那n(n+1)/2是奇数，根本没法拆成两个相等的整数和，所以必然不存在这样的填法。

结论 #

满足条件的自然数n是所有能被4整除，或者除以4余3的数，也就是n ≡ 0 或 3 mod 4。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Farshid Farhat